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* Page found: Jacobi: Special cases (eq 13)

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{\displaystyle
\sum_{n=0}^\infty\frac{2n+\alpha+\beta+1}{n+\alpha+\beta+1}
\frac{\pochhammer{\alpha+\beta+2}{n} n!}{\pochhammer{\alpha+1}{n}\pochhammer{\beta+1}{n}} r^n
\Jacobi{\alpha}{\beta}{n}@{x} \Jacobi{\alpha}{\beta}{n}@{y}
=\frac{1-r}{(1+r)^{\alpha+\beta+2}}
\AppellFiv@{\frac12(\alpha+\beta+2)}{\frac12(\alpha+\beta+3)}{\alpha+1}{\beta+1}{
\frac{r(1-x)(1-y)}{(1+r)^2}}{\frac{r(1+x)(1+y)}{(1+r)^2}}
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+\alpha+% \beta+1}{n+\alpha+\beta+1}\frac{{\left(\alpha+\beta+2\right)_{n}}n!}{{\left(% \alpha+1\right)_{n}}{\left(\beta+1\right)_{n}}}r^{n}P^{(\alpha,\beta)}_{n}% \left(x\right)P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(y\right)=\frac{1-r}{(1+r)^{\alpha+% \beta+2}}\AppellFiv@{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+2)}{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+3)}% {\alpha+1}{\beta+1}{\frac{r(1-x)(1-y)}{(1+r)^{2}}}{\frac{r(1+x)(1+y)}{(1+r)^{2% }}}}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+\alpha+%&#10;\beta+1}{n+\alpha+\beta+1}\frac{{\left(\alpha+\beta+2\right)_{n}}n!}{{\left(%&#10;\alpha+1\right)_{n}}{\left(\beta+1\right)_{n}}}r^{n}P^{(\alpha,\beta)}_{n}%&#10;\left(x\right)P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(y\right)=\frac{1-r}{(1+r)^{\alpha+%&#10;\beta+2}}\AppellFiv@{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+2)}{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+3)}%&#10;{\alpha+1}{\beta+1}{\frac{r(1-x)(1-y)}{(1+r)^{2}}}{\frac{r(1+x)(1+y)}{(1+r)^{2%&#10;}}}}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.38.1.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.1.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.38.1.1a" xref="p1.1.m1.1.38.1.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
</mrow>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">∞</mi>
</munderover>
</mstyle>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">α</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.3a" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml">β</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.3b" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml">1</mn>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">α</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml">β</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.4.3.7" xref="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml">1</mn>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
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</mrow>
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</mrow>
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<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.cmml">!</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.1.cmml">)</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1.cmml">n</mi>
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</msubsup>
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<mo id="p1.1.m1.1.11.3.6.1.2a" xref="p1.1.m1.1.11.3.6.1.2.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.11.3.6.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.3.6.1.5.cmml">2</mn>
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</msup>
</mfrac>
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<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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<mtext id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12b.cmml">\AppellFiv</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">@</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">α</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">β</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">2</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1d" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.22a" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.22.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1e" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">α</mi>
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<mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">β</mi>
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</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.1f" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">α</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">1</mn>
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<mn id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">1</mn>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.36a" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.2">Jacobi-polynomial-P</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.8.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.3.1.2">𝛼</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.8.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.3.1.4">𝛽</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.8.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.4.1">𝑛</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.8.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.5">𝑥</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.7.2">
<apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.5">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2">Jacobi-polynomial-P</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.2">𝛼</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.4">𝛽</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.4.1">𝑛</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.9.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.5">𝑦</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3">superscript</csymbol>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.11.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.4">𝑟</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.11.3.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.6.1.1">𝛼</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.11.3.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.6.1.3">𝛽</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.6.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.6.1.5">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.12b.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
<mtext id="p1.1.m1.1.12a.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">\AppellFiv</mtext>
</merror>
</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">@</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
<divide id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2">
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<ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝛼</ci>
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<divide id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.38.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.3">
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<ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝛼</ci>
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<divide id="p1.1.m1.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36"/>
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<times id="p1.1.m1.1.36.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.12"/>
<ci id="p1.1.m1.1.36.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.1">𝑟</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.36.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.3">1</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.36.2.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.14">
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.36.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.36.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.3">superscript</csymbol>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">
<divide id="p1.1.m1.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37"/>
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<times id="p1.1.m1.1.37.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.12"/>
<ci id="p1.1.m1.1.37.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.1">𝑟</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.37.2.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.13">
<plus id="p1.1.m1.1.37.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.37.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.3">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.37.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.5">𝑥</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.37.2.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2.14">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.37.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.3.6.1">2</cn>
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<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+\alpha+%
\beta+1}{n+\alpha+\beta+1}\frac{{\left(\alpha+\beta+2\right)_{n}}n!}{{\left(%
\alpha+1\right)_{n}}{\left(\beta+1\right)_{n}}}r^{n}P^{(\alpha,\beta)}_{n}%
\left(x\right)P^{(\alpha,\beta)}_{n}\left(y\right)=\frac{1-r}{(1+r)^{\alpha+%
\beta+2}}\AppellFiv@{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+2)}{\frac{1}{2}(\alpha+\beta+3)}%
{\alpha+1}{\beta+1}{\frac{r(1-x)(1-y)}{(1+r)^{2}}}{\frac{r(1+x)(1+y)}{(1+r)^{2%
}}}}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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