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Display information for equation id:KLS:09.08:03 on revision:1473

* Page found: Jacobi: Special cases (eq KLS:09.08:03)

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{\displaystyle 
\int_{-1}^1(1-x^2)^{\lambda-\frac{1}{2}}\Ultra{\lambda}{m}@{x}\Ultra{\lambda}{n}@{x}\,dx
{}=\frac{\cpi\EulerGamma@{n+2\lambda}2^{1-2\lambda}}{\left\{\EulerGamma@{\lambda}\right\}^2(n+\lambda)n!}\,\Kronecker{m}{n}
}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (19.11 KB / 2.626 KB) :

∫ - 1 1 ( 1 - x 2 ) λ - 1 2 ⁢ C m λ ⁡ ( x ) ⁢ C n λ ⁡ ( x ) ⁢ 𝑑 x = π ⁢ Γ ⁡ ( n + 2 ⁢ λ ) ⁢ 2 1 - 2 ⁢ λ { Γ ⁡ ( λ ) } 2 ⁢ ( n + λ ) ⁢ n ! ⁢ δ m , n superscript subscript 1 1 superscript 1 superscript 𝑥 2 𝜆 1 2 ultraspherical-Gegenbauer-polynomial 𝜆 𝑚 𝑥 ultraspherical-Gegenbauer-polynomial 𝜆 𝑛 𝑥 differential-d 𝑥 Euler-Gamma 𝑛 2 𝜆 superscript 2 1 2 𝜆 superscript Euler-Gamma 𝜆 2 𝑛 𝜆 𝑛 Kronecker-delta 𝑚 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{\lambda-% \frac{1}{2}}C^{\lambda}_{m}\left(x\right)C^{\lambda}_{n}\left(x\right)\,dx{}=% \frac{\pi\Gamma\left(n+2\lambda\right)2^{1-2\lambda}}{\left\{\Gamma\left(% \lambda\right)\right\}^{2}(n+\lambda)n!}\,\delta_{m,n}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{\lambda-%&#10;\frac{1}{2}}C^{\lambda}_{m}\left(x\right)C^{\lambda}_{n}\left(x\right)\,dx{}=%&#10;\frac{\pi\Gamma\left(n+2\lambda\right)2^{1-2\lambda}}{\left\{\Gamma\left(%&#10;\lambda\right)\right\}^{2}(n+\lambda)n!}\,\delta_{m,n}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">
          <msubsup id="p1.1.m1.1.20.1.1a" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mn id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">1</mn>
          </msubsup>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.20.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">1</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">x</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">λ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">-</mo>
              <mfrac id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.10.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.2.cmml">1</mn>
                <mn id="p1.1.m1.1.10.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.20.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.7.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.11.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.1.cmml">C</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.3.1.cmml">λ</mi>
            </msubsup>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.7.2a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.11.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.5" xref="p1.1.m1.1.11.5.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.11.6" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.20.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.12.7.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.12.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.1.cmml">C</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.4.1.cmml">n</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.cmml">λ</mi>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.12.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.12.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.5" xref="p1.1.m1.1.12.5.cmml">x</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.6" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.3.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">𝑑</mo>
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          </mrow>
        </mrow>
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            <mfrac id="p1.1.m1.1.17b" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.1.cmml">n</mi>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.3.cmml">2</mn>
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                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.17.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml">)</mo>
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                </mrow>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.4.cmml">λ</mi>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.17.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.1.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.17.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.17.3.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.13.2.1.cmml">}</mo>
                  </mrow>
                  <mn id="p1.1.m1.1.17.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.4.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.3.12" xref="p1.1.m1.1.17.3.12.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.17.3.14" xref="p1.1.m1.1.17.3.14.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17.3.5" xref="p1.1.m1.1.17.3.14.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.17.3.14.2" xref="p1.1.m1.1.17.3.14.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.17.3.6" xref="p1.1.m1.1.17.3.6.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.17.3.7" xref="p1.1.m1.1.17.3.7.cmml">+</mo>
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