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{\displaystyle
\int_{-1}^1(1-x^2)^{\lambda-\frac{1}{2}}\Ultra{\lambda}{m}@{x}\Ultra{\lambda}{n}@{x}\,dx
{}=\frac{\cpi\EulerGamma@{n+2\lambda}2^{1-2\lambda}}{\left\{\EulerGamma@{\lambda}\right\}^2(n+\lambda)n!}\,\Kronecker{m}{n}
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{\lambda-% \frac{1}{2}}C^{\lambda}_{m}\left(x\right)C^{\lambda}_{n}\left(x\right)\,dx{}=% \frac{\pi\Gamma\left(n+2\lambda\right)2^{1-2\lambda}}{\left\{\Gamma\left(% \lambda\right)\right\}^{2}(n+\lambda)n!}\,\delta_{m,n}}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{\lambda-%&#10;\frac{1}{2}}C^{\lambda}_{m}\left(x\right)C^{\lambda}_{n}\left(x\right)\,dx{}=%&#10;\frac{\pi\Gamma\left(n+2\lambda\right)2^{1-2\lambda}}{\left\{\Gamma\left(%&#10;\lambda\right)\right\}^{2}(n+\lambda)n!}\,\delta_{m,n}}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
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<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∫</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">-</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">x</mi>
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</msup>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">λ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">-</mo>
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<mn id="p1.1.m1.1.10.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.2.cmml">1</mn>
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</mfrac>
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<mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.1.cmml">C</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.4.1.cmml">m</mi>
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<mrow id="p1.1.m1.1.11.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.12.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.12.5" xref="p1.1.m1.1.12.5.cmml">x</mi>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.11.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.2">ultraspherical-Gegenbauer-polynomial</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.11.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.3.1">𝜆</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.11.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.4.1">𝑚</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.11.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.5">𝑥</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
<apply id="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.5">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.12.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.2">ultraspherical-Gegenbauer-polynomial</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1">𝜆</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.4.1">𝑛</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.12.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5">𝑥</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.3">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">differential-d</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2">
<times id="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">
<divide id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
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<times id="p1.1.m1.1.17.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.5"/>
<pi id="p1.1.m1.1.17.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.17.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5">
<plus id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.1">𝑛</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.5">
<times id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.2.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.5.3">2</cn>
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</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.6">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.6">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.3">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1">
<minus id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.1">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.5">
<times id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.3">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.17.2.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.4.1.4">𝜆</ci>
</apply>
</apply>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3">
<times id="p1.1.m1.1.17.3.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.12"/>
<apply id="p1.1.m1.1.17.3.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.13">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.3.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.13">superscript</csymbol>
<set id="p1.1.m1.1.17.3.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.13.2">
<apply id="p1.1.m1.1.17.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.17.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.17.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.5">𝜆</ci>
</apply>
</set>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.4.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.17.3.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.14">
<plus id="p1.1.m1.1.17.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.7"/>
<ci id="p1.1.m1.1.17.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.6">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.17.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.8">𝜆</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.17.3.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.15">
<factorial id="p1.1.m1.1.17.3.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.11"/>
<ci id="p1.1.m1.1.17.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.10">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
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<apply id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.4">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2">Kronecker-delta</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1">𝑚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.19.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.3">𝑛</ci>
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\lambda\right)\right\}^{2}(n+\lambda)n!}\,\delta_{m,n}}}}</annotation>
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