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* Page found: The binomial theorem and other summation formulas (eq KLS:01.05:01)

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{\displaystyle 
\index{Binomial theorem}\index{Summation formula!Binomial theorem}
\HyperpFq{1}{0}@@{a}{-}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\pochhammer{a}{n}}{n!}z^n=(1-z)^{-a}
}

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\HyperpFq ⁢ 10 ⁢ @ ⁢ @ ⁢ a - z = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n n ! ⁢ z n = ( 1 - z ) - a \HyperpFq 10 @ @ 𝑎 𝑧 superscript subscript 𝑛 0 Pochhammer-symbol 𝑎 𝑛 𝑛 superscript 𝑧 𝑛 superscript 1 𝑧 𝑎 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}\HyperpFq{1}{0}@@{a}{-}{z}=\sum_% {n=0}^{\infty}\frac{{\left(a\right)_{n}}}{n!}z^{n}=(1-z)^{-a}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}\HyperpFq{1}{0}@@{a}{-}{z}=\sum_%&#10;{n=0}^{\infty}\frac{{\left(a\right)_{n}}}{n!}z^{n}=(1-z)^{-a}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.cmml">
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\HyperpFq</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.23.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">10</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.23.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.23.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.23.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">a</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">-</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">z</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.23.3" xref="p1.1.m1.1.23.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.23.3.1" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.23.3.1a" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.3.2" xref="p1.1.m1.1.23.3.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.13.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.cmml">a</mi>
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                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.5.1.cmml">n</mi>
              </msub>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">n</mi>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.2.cmml">!</mo>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.23.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.23.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.23.3.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">z</mi>
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          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <msup id="p1.1.m1.1.23.4" xref="p1.1.m1.1.23.4.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.4.2" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.23.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">z</mi>
          </mrow>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">-</mo>
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        </mrow>
      </msup>
    </mrow>
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">\HyperpFq</mtext>
                </merror>
              </ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">@</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">@</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑎</ci>
            </apply>
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                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3">
                  <factorial id="p1.1.m1.1.13.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.23.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.3.2.2">
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                <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑧</ci>
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        <apply id="p1.1.m1.1.23c.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
          <eq id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.23.3.cmml" id="p1.1.m1.1.23d.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.23.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.4">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.23.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.4">superscript</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.2">𝑎</ci>
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{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}\HyperpFq{1}{0}@@{a}{-}{z}=\sum_% {n=0}^{\infty}\frac{{\left(a\right)_{n}}}{n!}z^{n}=(1-z)^{-a}}}}

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