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* Page found: The binomial theorem and other summation formulas (eq KLS:01.05:08)

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{\displaystyle
\index{Dougall's bilateral sum}\index{Summation formula!Dougall}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\EulerGamma@{n+a}\EulerGamma@{n+b}}{\EulerGamma@{n+c}\EulerGamma@{n+d}}
=\frac{\EulerGamma@{a}\EulerGamma@{1-a}\EulerGamma@{b}\EulerGamma@{1-b}\EulerGamma@{c+d-a-b-1}}
{\EulerGamma@{c-a}\EulerGamma@{d-a}\EulerGamma@{c-b}\EulerGamma@{d-b}}
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{% \Gamma\left(n+a\right)\Gamma\left(n+b\right)}{\Gamma\left(n+c\right)\Gamma% \left(n+d\right)}=\frac{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(1-a\right)\Gamma\left(% b\right)\Gamma\left(1-b\right)\Gamma\left(c+d-a-b-1\right)}{\Gamma\left(c-a% \right)\Gamma\left(d-a\right)\Gamma\left(c-b\right)\Gamma\left(d-b\right)}}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{%&#10;\Gamma\left(n+a\right)\Gamma\left(n+b\right)}{\Gamma\left(n+c\right)\Gamma%&#10;\left(n+d\right)}=\frac{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(1-a\right)\Gamma\left(%&#10;b\right)\Gamma\left(1-b\right)\Gamma\left(c+d-a-b-1\right)}{\Gamma\left(c-a%&#10;\right)\Gamma\left(d-a\right)\Gamma\left(c-b\right)\Gamma\left(d-b\right)}}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
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<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.6.3.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.3.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.2.1.1.cmml">Γ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.3.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.6.3.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5.1.cmml">c</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.3.5.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5.2.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.6.3.3.5.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5.3.cmml">b</mi>
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<mo id="p1.1.m1.1.6.3.3.6" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.5b" xref="p1.1.m1.1.6.3.5.cmml">⁢</mo>
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<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.3.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.2.1.1.cmml">Γ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.4.7.2a" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.3.4.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.4.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.3.4.5" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.5.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.6.3.4.5.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.5.2.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.6.3.4.5.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.5.3.cmml">b</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.6.3.4.6" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.1.cmml">)</mo>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.4.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<plus id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.3">𝑏</ci>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.3">𝑐</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.5.3">𝑑</ci>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<minus id="p1.1.m1.1.6.2.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.5.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.5.1">1</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.6.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<apply id="p1.1.m1.1.6.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.6.2.4.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.5">
<minus id="p1.1.m1.1.6.2.4.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.5.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.4.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.5.1">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.6.2.4.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.5.3">𝑏</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.2.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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<plus id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.1">𝑐</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.3">𝑑</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.5">𝑎</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.7">𝑏</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.5.5.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.5.9">1</cn>
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</apply>
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<apply id="p1.1.m1.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3">
<times id="p1.1.m1.1.6.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.5"/>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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</apply>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.6.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.5">
<minus id="p1.1.m1.1.6.3.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.5.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.6.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.5.1">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.6.3.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.5.3">𝑎</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.6.3.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5">
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<ci id="p1.1.m1.1.6.3.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.5.1">𝑐</ci>
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\left(n+d\right)}=\frac{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(1-a\right)\Gamma\left(%
b\right)\Gamma\left(1-b\right)\Gamma\left(c+d-a-b-1\right)}{\Gamma\left(c-a%
\right)\Gamma\left(d-a\right)\Gamma\left(c-b\right)\Gamma\left(d-b\right)}}}}</annotation>
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SVG (22.802 KB / 4.586 KB) :

### SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[20ab6ddb479ece66597b849d] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=1987&eid=KLS%3A01.05%3A08 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}

In Maple:

In Mathematica:

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire The binomial theorem and other summation formulas page

## Identifiers

### MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results