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Display information for equation id:KLS:01.06:01 on revision:1988

* Page found: Some integrals (eq KLS:01.06:01)

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{\displaystyle 
\index{Euler's integral representation for a $\HyperpFq{2}{1}$}\index{Hypergeometric function!Euler's integral representation}
\HyperpFq{2}{1}@@{a,b}{c}{z}=\frac{\EulerGamma@{c}}{\EulerGamma@{b}\EulerGamma@{c-b}}
\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt
}

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F 1 2 ( a , b c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( b ) Γ ( c - b ) 0 1 t b - 1 ( 1 - t ) c - b - 1 ( 1 - z t ) - a 𝑑 t Gauss-hypergeometric-pFq 2 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 Euler-Gamma 𝑐 Euler-Gamma 𝑏 Euler-Gamma 𝑐 𝑏 superscript subscript 0 1 superscript 𝑡 𝑏 1 superscript 1 𝑡 𝑐 𝑏 1 superscript 1 𝑧 𝑡 𝑎 differential-d 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}{{}_{2}F_{1}}\!\left({a,b\atop c% };z\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c-b% \right)}\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}{{}_{2}F_{1}}\!\left({a,b\atop c%&#10;};z\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c-b%&#10;\right)}\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
          <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">F</mi>
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            <none id="p1.1.m1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml"/>
            <mprescripts id="p1.1.m1.1.1.2.1.5b" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml"/>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2.1.cmml">2</mn>
            <none id="p1.1.m1.1.1.2.1.5c" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml"/>
          </mmultiscripts>
        </mpadded>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.10.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
            <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">a</mi>
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            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">;</mo>
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        </mrow>
      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
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                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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              </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">-</mo>
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                </mrow>
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                <mn id="p1.1.m1.1.14.1.5" xref="p1.1.m1.1.14.1.5.cmml">1</mn>
              </mrow>
            </msup>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">1</mn>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1.cmml">
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                </mrow>
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            </mpadded>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.4.1">1</cn>
          </apply>
          <list id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1">𝑎</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3">𝑏</ci>
          </list>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.3">𝑐</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.8">𝑧</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1">
          <times id="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
            <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5">𝑐</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
              <times id="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.7.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.5">𝑏</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.7.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5">
                  <minus id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.1">𝑐</ci>
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                </apply>
              </apply>
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          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">0</cn>
              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">1</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑡</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">𝑏</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.3.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑡</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">𝑐</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.3">𝑏</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.5">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.4.2.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">𝑧</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑡</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.21.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2">𝑎</ci>
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              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.5">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">differential-d</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑡</ci>
              </apply>
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        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}{{}_{2}F_{1}}\!\left({a,b\atop c%
};z\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c-b%
\right)}\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (19.284 KB / 5.473 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}{}{{}_{2}F_{1}}\!\left({a,b\atop c% };z\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(b\right)\Gamma\left(c-b% \right)}\int_{0}^{1}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\,dt}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[0224ca515e7757f359a4a4b5] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=1988&eid=KLS%3A01.06%3A01 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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