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Display information for equation id:KLS:01.08:07 on revision:1990

* Page found: The q-shifted factorial (eq KLS:01.08:07)

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{\displaystyle 
\qPochhammer{a}{q}{-n}=\frac{1}{\qPochhammer{aq^{-n}}{q}{n}}=\frac{(-qa^{-1})^n}{\qPochhammer{qa^{-1}}{q}{n}}
q^{\binomial{n}{2}}
}

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\qPochhammer a q - n = 1 \qPochhammer a q - n q n = ( - q a - 1 ) n \qPochhammer q a - 1 q n q \binomial n 2 \qPochhammer 𝑎 𝑞 𝑛 1 \qPochhammer 𝑎 superscript 𝑞 𝑛 𝑞 𝑛 superscript 𝑞 superscript 𝑎 1 𝑛 \qPochhammer 𝑞 superscript 𝑎 1 𝑞 𝑛 superscript 𝑞 \binomial 𝑛 2 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qPochhammer{a}{q}{-n}=\frac{1}{% \qPochhammer{aq^{-n}}{q}{n}}=\frac{(-qa^{-1})^{n}}{\qPochhammer{qa^{-1}}{q}{n}% }q^{\binomial{n}{2}}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qPochhammer{a}{q}{-n}=\frac{1}{%&#10;\qPochhammer{aq^{-n}}{q}{n}}=\frac{(-qa^{-1})^{n}}{\qPochhammer{qa^{-1}}{q}{n}%&#10;}q^{\binomial{n}{2}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\qPochhammer</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">a</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">q</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">n</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">1</mn>
          <mrow id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1b.cmml">
              <mtext id="p1.1.m1.1.7.3.1a" xref="p1.1.m1.1.7.3.1b.cmml">\qPochhammer</mtext>
            </merror>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.3.7" xref="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml">a</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.3.7a" xref="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml"></mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.7.3.8" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">q</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1.1.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1.2.cmml">n</mi>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.3.7b" xref="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7.3.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.3.7c" xref="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7.3.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.6.cmml">n</mi>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.9" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml">q</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.4.cmml">a</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.9.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.1.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.9.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.2.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </msup>
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                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.7.1.cmml">n</mi>
            </msup>
            <mrow id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.9.3.1a" xref="p1.1.m1.1.9.3.1b.cmml">\qPochhammer</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.7" xref="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.7a" xref="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.9.3.8" xref="p1.1.m1.1.9.3.8.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml">a</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.1.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.2.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.7b" xref="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.3.5" xref="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.7c" xref="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml"></mo>
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        <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml"></mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">q</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1b.cmml">
              <mtext id="p1.1.m1.1.11.1.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.1b.cmml">\binomial</mtext>
            </merror>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.4a" xref="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml"></mo>
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          </mrow>
        </msup>
      </mrow>
    </mrow>
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">\qPochhammer</mtext>
                </merror>
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              <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">𝑎</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑞</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑛</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
            <divide id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">1</cn>
            <apply id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">
              <times id="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.7"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">
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                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2">𝑎</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.3">𝑞</ci>
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              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.5">𝑞</ci>
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                    <times id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.3">𝑞</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.2.1.2">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.4">𝑎</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.9.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.1"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.2">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.7.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3">
                <times id="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.7"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">
                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.9.3.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">\qPochhammer</mtext>
                  </merror>
                </ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2">𝑞</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.8">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.8">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.3">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.2">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.5">𝑞</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.6">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑞</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
                <times id="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.4"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">
                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.11.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">\binomial</mtext>
                  </merror>
                </ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">𝑛</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">2</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qPochhammer{a}{q}{-n}=\frac{1}{%
\qPochhammer{aq^{-n}}{q}{n}}=\frac{(-qa^{-1})^{n}}{\qPochhammer{qa^{-1}}{q}{n}%
}q^{\binomial{n}{2}}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (14.693 KB / 3.201 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qPochhammer{a}{q}{-n}=\frac{1}{% \qPochhammer{aq^{-n}}{q}{n}}=\frac{(-qa^{-1})^{n}}{\qPochhammer{qa^{-1}}{q}{n}% }q^{\binomial{n}{2}}}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[fad6d5c16e99c5c0f37149ec] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=1990&eid=KLS%3A01.08%3A07 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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