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Display information for equation id:KLS:01.09:07 on revision:1991

* Page found: The q-gamma function and q-binomial coefficients (eq KLS:01.09:07)

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Hash: 9a2894d7161d1a017d3ab1a27d22183d

TeX (original user input):

{\displaystyle 
\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}:=\frac{\qGamma{q}@{\alpha+1}}{\qGamma{q}@{\beta+1}\qGamma{q}@{\alpha-\beta+1}}
=\frac{\qPochhammer{q^{\beta+1}}{q}{\infty}\qPochhammer{q^{\alpha-\beta+1}}{q}{\infty}}
{\qPochhammer{q}{q}{\infty}\qPochhammer{q^{\alpha+1}}{q}{\infty}}
}

TeX (checked):

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MathML (19.105 KB / 2.394 KB) :

\qBinomial α β q := Γ q ( α + 1 ) Γ q ( β + 1 ) Γ q ( α - β + 1 ) = ( q β + 1 ; q ) ( q α - β + 1 ; q ) ( q ; q ) ( q α + 1 ; q ) assign \qBinomial 𝛼 𝛽 𝑞 q-Gamma 𝑞 𝛼 1 q-Gamma 𝑞 𝛽 1 q-Gamma 𝑞 𝛼 𝛽 1 q-Pochhammer superscript 𝑞 𝛽 1 𝑞 q-Pochhammer superscript 𝑞 𝛼 𝛽 1 𝑞 q-Pochhammer 𝑞 𝑞 q-Pochhammer superscript 𝑞 𝛼 1 𝑞 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}:=\frac{% \Gamma_{q}\left(\alpha+1\right)}{\Gamma_{q}\left(\beta+1\right)\Gamma_{q}\left% (\alpha-\beta+1\right)}=\frac{\left(q^{\beta+1};q\right)_{\infty}\left(q^{% \alpha-\beta+1};q\right)_{\infty}}{\left(q;q\right)_{\infty}\left(q^{\alpha+1}% ;q\right)_{\infty}}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}:=\frac{%&#10;\Gamma_{q}\left(\alpha+1\right)}{\Gamma_{q}\left(\beta+1\right)\Gamma_{q}\left%&#10;(\alpha-\beta+1\right)}=\frac{\left(q^{\beta+1};q\right)_{\infty}\left(q^{%&#10;\alpha-\beta+1};q\right)_{\infty}}{\left(q;q\right)_{\infty}\left(q^{\alpha+1}%&#10;;q\right)_{\infty}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">
        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">
          <mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\qBinomial</mtext>
        </merror>
        <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">α</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1a" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">β</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1b" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">q</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">:=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.1.1.cmml">Γ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.2.1.3.1.cmml">q</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.5.1.cmml">α</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.5.2.cmml">+</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.7.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.5.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.3.1.cmml">q</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.5.1.cmml">β</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.7.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.5.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.3.1.cmml">q</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.2.cmml">-</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.3.cmml">β</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.4.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.7.3.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.5.5.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
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      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.9.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml">(</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.9.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.cmml">q</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.1.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.2.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.5.cmml">q</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.7.1.cmml"></mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml"></mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.9.2.2.8" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml">(</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.9.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.1.cmml">q</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.1.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.3.cmml">β</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.4.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.2.1.5.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.5.cmml">q</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.2.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.7.1.cmml"></mi>
            </msub>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.9.3.1.8" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.3.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.9.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.1.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.3.cmml">q</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.9.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.5.cmml">q</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.3.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.7.1.cmml"></mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml"></mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.9.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.3.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.9.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.1.cmml">(</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.9.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.3.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.3.2.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
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              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.3.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.3">superscript</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.5">𝑞</ci>
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\alpha-\beta+1};q\right)_{\infty}}{\left(q;q\right)_{\infty}\left(q^{\alpha+1}%
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{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}:=\frac{% \Gamma_{q}\left(\alpha+1\right)}{\Gamma_{q}\left(\beta+1\right)\Gamma_{q}\left% (\alpha-\beta+1\right)}=\frac{\left(q^{\beta+1};q\right)_{\infty}\left(q^{% \alpha-\beta+1};q\right)_{\infty}}{\left(q;q\right)_{\infty}\left(q^{\alpha+1}% ;q\right)_{\infty}}}}}

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Failed to get svg.

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Failed getting PNG

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from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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In Mathematica:

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