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Display information for equation id:KLS:01.09:09 on revision:1991

* Page found: The q-gamma function and q-binomial coefficients (eq KLS:01.09:09)

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Hash: 58dd60770addf8ec335556737c996c95

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{\displaystyle 
\lim\limits_{q\rightarrow 1}\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}
=\frac{\EulerGamma@{\alpha+1}}{\EulerGamma@{\beta+1}\EulerGamma@{\alpha-\beta+1}}=\binomial{\alpha}{\beta}
}

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MathML (10.652 KB / 1.644 KB) :

lim q → 1 ⁡ \qBinomial ⁢ α ⁢ β ⁢ q = Γ ⁡ ( α + 1 ) Γ ⁡ ( β + 1 ) ⁢ Γ ⁡ ( α - β + 1 ) = \binomial ⁢ α ⁢ β subscript → 𝑞 1 \qBinomial 𝛼 𝛽 𝑞 Euler-Gamma 𝛼 1 Euler-Gamma 𝛽 1 Euler-Gamma 𝛼 𝛽 1 \binomial 𝛼 𝛽 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim\limits_{q\rightarrow 1}% \qBinomial{\alpha}{\beta}{q}=\frac{\Gamma\left(\alpha+1\right)}{\Gamma\left(% \beta+1\right)\Gamma\left(\alpha-\beta+1\right)}=\binomial{\alpha}{\beta}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim\limits_{q\rightarrow 1}%&#10;\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}=\frac{\Gamma\left(\alpha+1\right)}{\Gamma\left(%&#10;\beta+1\right)\Gamma\left(\alpha-\beta+1\right)}=\binomial{\alpha}{\beta}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">→</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.2a" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.cmml">
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3b.cmml">\qBinomial</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.13.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">α</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.13.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">β</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.13.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.13.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">q</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.8.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.5.1.cmml">α</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.5.2.cmml">+</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.5.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1.cmml">β</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2.cmml">-</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3.cmml">β</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.4.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5.cmml">1</mn>
                </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
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      <mrow id="p1.1.m1.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.cmml">
        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10b.cmml">
          <mtext id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10b.cmml">\binomial</mtext>
        </merror>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">α</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">β</mi>
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            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">\qBinomial</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝛼</ci>
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            </apply>
          </apply>
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            <divide id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
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              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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                  <plus id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2"/>
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              </apply>
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                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.6">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3">𝛽</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5">1</cn>
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          <apply id="p1.1.m1.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3">
            <times id="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.10b.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
                <mtext id="p1.1.m1.1.10a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">\binomial</mtext>
              </merror>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝛼</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝛽</ci>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim\limits_{q\rightarrow 1}%
\qBinomial{\alpha}{\beta}{q}=\frac{\Gamma\left(\alpha+1\right)}{\Gamma\left(%
\beta+1\right)\Gamma\left(\alpha-\beta+1\right)}=\binomial{\alpha}{\beta}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (14.562 KB / 4.149 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim\limits_{q\rightarrow 1}% \qBinomial{\alpha}{\beta}{q}=\frac{\Gamma\left(\alpha+1\right)}{\Gamma\left(% \beta+1\right)\Gamma\left(\alpha-\beta+1\right)}=\binomial{\alpha}{\beta}}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[323e07288fed49aa55d5b903] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=1991&eid=KLS%3A01.09%3A09 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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