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{\displaystyle
\RiemannZeta@{1+s}
= \frac{\sin@{\cpi s}}{\cpi}
\int_0^\infty
\left( \EulerConstant + \digamma@{1+x} \right) x^{-s-1}
\diff{x}
}
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MathML (11.521 KB / 1.816 KB) :

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(1+s\right)=\frac{\sin\!% \left(\cpi s\right)}{\cpi}\int_{0}^{\infty}\left(\EulerConstant+\psi\left(1+x% \right)\right)x^{-s-1}\diffd x}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.3.cmml">s</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
<mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.1.cmml">sin</mi>
</mpadded>
<mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.8.2a" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1a" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1b.cmml">\cpi</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.3.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.2.cmml">s</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.3.3b.cmml">\cpi</mtext>
</merror>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
<msubsup id="p1.1.m1.1.15.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">∞</mi>
</msubsup>
</mstyle>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8b.cmml">\EulerConstant</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.7.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.cmml">ψ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.10.7.2a" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.10.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.5" xref="p1.1.m1.1.10.5.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.10.5.1" xref="p1.1.m1.1.10.5.1.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.10.5.2" xref="p1.1.m1.1.10.5.2.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.10.5.3" xref="p1.1.m1.1.10.5.3.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.10.6" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml"></mo>
<msup id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">x</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.13.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml">s</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.3.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.13.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml">1</mn>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.14.2.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">\diffd</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.14.2a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
<apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2">Riemann-zeta</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">
<plus id="p1.1.m1.1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.1">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.3">𝑠</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
<times id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
<divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.8.2">
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<times id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.1">
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</merror>
</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.3.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.6.2">𝑠</ci>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.3.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
<mtext id="p1.1.m1.1.3.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">\cpi</mtext>
</merror>
</ci>
</apply>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">0</cn>
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<infinity id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1"/>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2">
<plus id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
<ci id="p1.1.m1.1.8b.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
<mtext id="p1.1.m1.1.8a.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">\EulerConstant</mtext>
</merror>
</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.7.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.2">digamma</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.10.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.5">
<plus id="p1.1.m1.1.10.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.5.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.5.1">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.10.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.5.3">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑥</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">
<minus id="p1.1.m1.1.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.13.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.5">
<minus id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2">𝑠</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.4">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">
<diff id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1a"/>
<ci id="p1.1.m1.1.14.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(1+s\right)=\frac{\sin\!%
\left(\cpi s\right)}{\cpi}\int_{0}^{\infty}\left(\EulerConstant+\psi\left(1+x%
\right)\right)x^{-s-1}\diffd x}}}</annotation>
</semantics>
</math>
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