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{\displaystyle
\opminus^k \RiemannZeta^{(k)}@{-2n}
= \frac{2 \opminus^n}{(2\cpi)^{2n+1}}
\sum_{m=0}^k \sum_{r=0}^m
\binom{k}{m} \binom{m}{r} \imagpart{(c^{k-m})}
\* \EulerGamma^{(r)}@{2n+1} \RiemannZeta^{(m-r)}@{2n+1}
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle(-1)^{k}{\zeta^{(k)}}\left(-2n\right% )=\frac{2(-1)^{n}}{(2\cpi)^{2n+1}}\sum_{m=0}^{k}\sum_{r=0}^{m}\binom{k}{m}% \binom{m}{r}\imagpart{(c^{k-m})}\*{\Gamma^{(r)}}\left(2n+1\right){\zeta^{(m-r)% }}\left(2n+1\right)}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle(-1)^{k}{\zeta^{(k)}}\left(-2n\right%&#10;)=\frac{2(-1)^{n}}{(2\cpi)^{2n+1}}\sum_{m=0}^{k}\sum_{r=0}^{m}\binom{k}{m}%&#10;\binom{m}{r}\imagpart{(c^{k-m})}\*{\Gamma^{(r)}}\left(2n+1\right){\zeta^{(m-r)%&#10;}}\left(2n+1\right)}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">1</mn>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">k</mi>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.7.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.6.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.6.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1.1.2.cmml">k</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.6.7.2a" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.6.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.5" xref="p1.1.m1.1.6.5.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.6.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.5.1.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.6.5.4" xref="p1.1.m1.1.6.5.4.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.6.5.2" xref="p1.1.m1.1.6.5.2.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.6.5.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.5.4.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</mrow>
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</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.8.2.7" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.cmml">⁢</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">1</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.8.2.2.cmml">)</mo>
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</msup>
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<msup id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.8.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.2.1.cmml">⁢</mo>
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.8.3.3a" xref="p1.1.m1.1.8.3.3b.cmml">\cpi</mtext>
</merror>
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</mrow>
</msup>
</mfrac>
</mstyle>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.25.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">k</mi>
</munderover>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.2.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.25.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.2.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">∑</mo>
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<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.15.3a" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
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<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.16.3a" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
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</mfrac>
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<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17b.cmml">\imagpart</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.23.4" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.23.5" xref="p1.1.m1.1.23.5.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.23.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.23.5.5.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1.1.3.cmml">-</mo>
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</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1.1.7.cmml">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.24.7.2a" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">⁡</mo>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2">Riemann-zeta</csymbol>
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\binom{m}{r}\imagpart{(c^{k-m})}\*{\Gamma^{(r)}}\left(2n+1\right){\zeta^{(m-r)%
}}\left(2n+1\right)}}}</annotation>
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