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Display information for equation id:DLMF:25.11:E24 on revision:2214

* Page found: Hurwitz Zeta Function (eq DLMF:25.11:E24)

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{\displaystyle 
  \sum_{r \hiderel{=} 1}^{k-1} \HurwitzZeta'@{s}{\frac{r}{k}}
  = (k^s - 1) \RiemannZeta'@{s}
  + k^s \RiemannZeta@{s} \ln@@{k}
}

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MathML (11.063 KB / 1.693 KB) :

∑ r = 1 k - 1 \HurwitzZeta ′ ⁢ @ ⁢ s ⁢ r k = ( k s - 1 ) ⁢ \RiemannZeta ′ ⁢ @ ⁢ s + k s ⁢ \RiemannZeta ⁢ @ ⁢ s ⁢ ln ⁡ k superscript subscript 𝑟 1 𝑘 1 superscript \HurwitzZeta ′ @ 𝑠 𝑟 𝑘 superscript 𝑘 𝑠 1 superscript \RiemannZeta ′ @ 𝑠 superscript 𝑘 𝑠 \RiemannZeta @ 𝑠 𝑘 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{r=1}^{k-1}\HurwitzZeta^{\prime% }@{s}{\frac{r}{k}}=(k^{s}-1)\RiemannZeta^{\prime}@{s}+k^{s}\RiemannZeta@{s}\ln k% }}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{r=1}^{k-1}\HurwitzZeta^{\prime%&#10;}@{s}{\frac{r}{k}}=(k^{s}-1)\RiemannZeta^{\prime}@{s}+k^{s}\RiemannZeta@{s}\ln&#10;k%&#10;}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.27.1.1a" xref="p1.1.m1.1.27.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.27.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.2.cmml">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4b.cmml">
              <mtext id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4b.cmml">\HurwitzZeta</mtext>
            </merror>
            <mo id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">′</mo>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.1.2.1b" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">r</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">k</mi>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">k</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">s</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.27.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.3.cmml">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16b.cmml">
              <mtext id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16b.cmml">\RiemannZeta</mtext>
            </merror>
            <mo id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">′</mo>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">s</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.27.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">k</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">s</mi>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.23a" xref="p1.1.m1.1.23b.cmml">\RiemannZeta</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.2.1c" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.26.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.1.cmml">ln</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.26.5a" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">⁡</mo>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑟</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">1</cn>
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            </apply>
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              <minus id="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.1">𝑘</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.3">1</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.27.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1.2">
            <times id="p1.1.m1.1.27.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.27.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.2">
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">\HurwitzZeta</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">′</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">@</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑠</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
              <divide id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3">𝑘</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
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          <plus id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.27.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2">
              <minus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.2.2.1">
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                <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">𝑠</ci>
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            </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.27.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.3">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.16b.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.16a.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">\RiemannZeta</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">′</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">@</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑠</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.27.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.27.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.27.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.27.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.2">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑘</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.23b.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
                <mtext id="p1.1.m1.1.23a.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">\RiemannZeta</mtext>
              </merror>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">@</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">𝑠</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.5">
              <ln id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.2"/>
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