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{\displaystyle
n \int_0^a \HurwitzZeta'@{1-n}{x} \diff{x}
= \HurwitzZeta'@{-n}{a} - \RiemannZeta'@{-n}
+ \frac{\BernoulliB{n+1} - \BernoulliB{n+1}@{a}}{n(n+1)}
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle n\int_{0}^{a}\HurwitzZeta^{\prime}@% {1-n}{x}\mathrm{d}x=\HurwitzZeta^{\prime}@{-n}{a}-\RiemannZeta^{\prime}@{-n}+% \frac{\BernoulliB{n+1}-\BernoulliB{n+1}@{a}}{n(n+1)}}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle n\int_{0}^{a}\HurwitzZeta^{\prime}@%&#10;{1-n}{x}\mathrm{d}x=\HurwitzZeta^{\prime}@{-n}{a}-\RiemannZeta^{\prime}@{-n}+%&#10;\frac{\BernoulliB{n+1}-\BernoulliB{n+1}@{a}}{n(n+1)}}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
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<mrow id="p1.1.m1.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.28.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">∫</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">0</mn>
<mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">a</mi>
</msubsup>
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<mrow id="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.2.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5b.cmml">\HurwitzZeta</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">′</mo>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">@</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">1</mn>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.28.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">x</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.28.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
<mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.12.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">d</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml">x</mi>
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<msup id="p1.1.m1.1.28.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.1.2.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14b.cmml">\HurwitzZeta</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">′</mo>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.28.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">@</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">-</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.28.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.28.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.3.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.28.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.3.2.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21b.cmml">\RiemannZeta</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">′</mo>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.28.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.3.1.cmml">⁢</mo>
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</merror>
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<mo id="p1.1.m1.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.27.2.4" xref="p1.1.m1.1.27.2.4.cmml">1</mn>
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<mo id="p1.1.m1.1.27.2.5" xref="p1.1.m1.1.27.2.5.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.27.2.12.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.27.2.6" xref="p1.1.m1.1.27.2.6b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.27.2.6a" xref="p1.1.m1.1.27.2.6b.cmml">\BernoulliB</mtext>
</merror>
<mo id="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1.cmml">⁢</mo>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">𝑎</ci>
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<mtext id="p1.1.m1.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">\HurwitzZeta</mtext>
</merror>
</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">′</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">@</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">1</cn>
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</apply>
</apply>
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<ci id="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">𝑥</ci>
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</apply>
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<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.1">
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<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.27.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.6">
<mtext id="p1.1.m1.1.27.2.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.6">\BernoulliB</mtext>
</merror>
</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.27.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.2.7">𝑛</ci>
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