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* Page found: Hurwitz Zeta Function (eq DLMF:25.11:E35)

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{\displaystyle
\sum_{n \hiderel{=} 0}^\infty \frac{\opminus^n}{(n+a)^s}
\hiderel{=} \frac{1}{\EulerGamma@{s}}
\int_0^\infty \frac{x^{s-1} \expe^{-ax}}{1+\expe^{-x}} \diff{x}
\hiderel{=} 2^{-s} \left( \HurwitzZeta@{s}{\tfrac{1}{2}a}
- \HurwitzZeta@{s}{\tfrac{1}{2} (1+a)}
\right)
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(% n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-% ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta% \left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(%&#10;n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-%&#10;ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta%&#10;\left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.20.2.1a" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
</mrow>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">∞</mi>
</munderover>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">1</mn>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml">n</mi>
</msup>
<msup id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.4.3.8" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.3.8.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">a</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml">s</mi>
</msup>
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<mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
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</mrow>
</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.20.3.1.cmml">⁢</mo>
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<mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∫</mo>
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</msubsup>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
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<mrow id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.6.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.cmml">-</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.10.2.5.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.10.2.7" xref="p1.1.m1.1.10.2.7.cmml">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.2.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml">
<mtext id="p1.1.m1.1.10.2.3a" xref="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml">\expe</mtext>
</merror>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2.cmml">a</mi>
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</mrow>
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<mrow id="p1.1.m1.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml">1</mn>
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<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.3.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.3b.cmml">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3">1</cn>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1">𝑛</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">
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<ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.4">𝑎</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1">𝑠</ci>
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<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.6.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.5">𝑠</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2">
<apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1">𝑥</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1">𝑠</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3">1</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.10.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">
<mtext id="p1.1.m1.1.10.2.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">\expe</mtext>
</merror>
</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1">
<minus id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2">𝑎</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3">𝑥</ci>
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</apply>
</apply>
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<apply id="p1.1.m1.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3">
<plus id="p1.1.m1.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.10.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.10.3.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">
<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">
<mtext id="p1.1.m1.1.10.3.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">\expe</mtext>
</merror>
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<apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">
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<ci id="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">𝑥</ci>
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</apply>
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<apply id="p1.1.m1.1.20c.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
<eq id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
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<apply id="p1.1.m1.1.20.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.2">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">
<minus id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.2">𝑠</ci>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.3">
<minus id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.9.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.1.2">Hurwitz-zeta</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.16.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.5">𝑠</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.16.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7">
<times id="p1.1.m1.1.16.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.16.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1">
<divide id="p1.1.m1.1.16.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.3">2</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.16.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.2">𝑎</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.9.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.2">Hurwitz-zeta</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.18.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.5">𝑠</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.18.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7">
<times id="p1.1.m1.1.18.7.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.18.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1">
<divide id="p1.1.m1.1.18.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.3">2</cn>
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<plus id="p1.1.m1.1.18.7.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.4"/>
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ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta%
\left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}</annotation>
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