Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:DLMF:25.11:E35 on revision:2214

* Page found: Hurwitz Zeta Function (eq DLMF:25.11:E35)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: 3e69bf8e5df0a513dc5715bfa978d75d

TeX (original user input): 

{\displaystyle 
  \sum_{n \hiderel{=} 0}^\infty \frac{\opminus^n}{(n+a)^s}
  \hiderel{=} \frac{1}{\EulerGamma@{s}}
    \int_0^\infty \frac{x^{s-1} \expe^{-ax}}{1+\expe^{-x}} \diff{x}
  \hiderel{=} 2^{-s} \left( \HurwitzZeta@{s}{\tfrac{1}{2}a}
                - \HurwitzZeta@{s}{\tfrac{1}{2} (1+a)}
           \right)
}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (22.962 KB / 3.004 KB) :

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( n + a ) s = 1 Γ ⁡ ( s ) ⁢ ∫ 0 ∞ x s - 1 ⁢ \expe - a ⁢ x 1 + \expe - x ⁢ \diffd ⁡ x = 2 - s ⁢ ( ζ ⁡ ( s , 1 2 ⁢ a ) - ζ ⁡ ( s , 1 2 ⁢ ( 1 + a ) ) ) superscript subscript 𝑛 0 superscript 1 𝑛 superscript 𝑛 𝑎 𝑠 1 Euler-Gamma 𝑠 superscript subscript 0 superscript 𝑥 𝑠 1 superscript \expe 𝑎 𝑥 1 superscript \expe 𝑥 𝑥 superscript 2 𝑠 Hurwitz-zeta 𝑠 1 2 𝑎 Hurwitz-zeta 𝑠 1 2 1 𝑎 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(% n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-% ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta% \left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(%&#10;n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-%&#10;ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta%&#10;\left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.20.2.1a" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml">n</mi>
            </msup>
            <msup id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.8" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.8.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">+</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">a</mi>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml">s</mi>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.3" xref="p1.1.m1.1.20.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.5.cmml">s</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.20.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.20.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∫</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">0</mn>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">∞</mi>
            </msubsup>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.20.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml">x</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml">s</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.10.2.5.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.10.2.7" xref="p1.1.m1.1.10.2.7.cmml">
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.2.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.10.2.3a" xref="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml">\expe</mtext>
                    </merror>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2.cmml">a</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.2.cmml">+</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.10.3.5" xref="p1.1.m1.1.10.3.5.cmml">
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.3.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.3b.cmml">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.10.3.3a" xref="p1.1.m1.1.10.3.3b.cmml">\expe</mtext>
                    </merror>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.10.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.10.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.10.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.20.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.11.2.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">\diffd</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.11.2a" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml">x</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.4" xref="p1.1.m1.1.20.4.cmml">
        <msup id="p1.1.m1.1.20.4.2" xref="p1.1.m1.1.20.4.2.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">2</mn>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">s</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.20.4.1" xref="p1.1.m1.1.20.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.20.4.3" xref="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.20.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.16.9.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.16.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml">ζ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.16.9.2a" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.16.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.16.4" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.16.5" xref="p1.1.m1.1.16.5.cmml">s</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.16.6" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">,</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.16.7" xref="p1.1.m1.1.16.7.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.16.7.1" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.16.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.16.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.16.7.3" xref="p1.1.m1.1.16.7.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.16.7.2" xref="p1.1.m1.1.16.7.2.cmml">a</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.16.8" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.9.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.18.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml">ζ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.9.2a" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.18.4" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.18.5" xref="p1.1.m1.1.18.5.cmml">s</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.18.6" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">,</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.18.7" xref="p1.1.m1.1.18.7.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.18.7.1" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.18.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.18.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.18.7.7" xref="p1.1.m1.1.18.7.7.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.18.7.8" xref="p1.1.m1.1.18.7.8.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.7.2" xref="p1.1.m1.1.18.7.8.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.18.7.8.2" xref="p1.1.m1.1.18.7.8.2.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.18.7.3" xref="p1.1.m1.1.18.7.3.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.18.7.4" xref="p1.1.m1.1.18.7.4.cmml">+</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.18.7.5" xref="p1.1.m1.1.18.7.5.cmml">a</mi>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.7.6" xref="p1.1.m1.1.18.7.8.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.18.8" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
        <and id="p1.1.m1.1.20a.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.20b.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
          <eq id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
                  <eq id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑛</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">0</cn>
                </apply>
              </apply>
              <infinity id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1"/>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">
              <divide id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.4.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.7">
                  <minus id="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3">1</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">
                  <plus id="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2">𝑛</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.4">𝑎</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.4.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.1">𝑠</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.20.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3">
            <times id="p1.1.m1.1.20.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">
              <divide id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.7.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.5">𝑠</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">0</cn>
                </apply>
                <infinity id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1"/>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.20.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.2">
                <times id="p1.1.m1.1.20.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
                  <divide id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.10.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.5"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.10.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.6">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.6">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1">𝑥</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1">𝑠</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.10.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.7">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.7">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.10.2.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">
                        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">
                          <mtext id="p1.1.m1.1.10.2.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.3">\expe</mtext>
                        </merror>
                      </ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4">
                          <times id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.4.1"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.2">𝑎</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.4.1.3">𝑥</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3">
                    <plus id="p1.1.m1.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1">1</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.10.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.5">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.5">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.10.3.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">
                        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">
                          <mtext id="p1.1.m1.1.10.3.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.3">\expe</mtext>
                        </merror>
                      </ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.10.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.10.3.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.10.3.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.4.1.2">𝑥</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">
                  <diff id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1a"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">𝑥</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.20c.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
          <eq id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.20.3.cmml" id="p1.1.m1.1.20d.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.20.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4">
            <times id="p1.1.m1.1.20.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.20.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.2">superscript</csymbol>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">2</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">
                <minus id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.2">𝑠</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.20.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.4.3">
              <minus id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.9.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.1.2">Hurwitz-zeta</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.5">𝑠</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.16.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7">
                  <times id="p1.1.m1.1.16.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.16.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1">
                    <divide id="p1.1.m1.1.16.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.2">1</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.1.3">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.16.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.7.2">𝑎</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.9.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.2">Hurwitz-zeta</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.18.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.5">𝑠</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.18.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7">
                  <times id="p1.1.m1.1.18.7.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.7"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.18.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1">
                    <divide id="p1.1.m1.1.18.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.2">1</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.1.3">2</cn>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.18.7.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.8">
                    <plus id="p1.1.m1.1.18.7.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.4"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.3">1</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.7.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.7.5">𝑎</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(%
n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-%
ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta%
\left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (24.761 KB / 6.075 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(% n+a)^{s}}=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}\expe^{-% ax}}{1+\expe^{-x}}\diffd x=2^{-s}\left(\zeta\left(s,\tfrac{1}{2}a\right)-\zeta% \left(s,\tfrac{1}{2}(1+a)\right)\right)}}}

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Hurwitz Zeta Function page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results

Retrieved from "https://drmf-beta.wmflabs.org/wiki/Special:FormulaInfo"