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Display information for equation id:DLMF:25.12:E13 on revision:2215

* Page found: Polylogarithms (eq DLMF:25.12:E13)

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{\displaystyle 
  \Polylogarithm{s}@{\expe^{2 \cpi \iunit a}}
  + \expe^{\cpi \iunit s} \Polylogarithm{s}@{\expe^{-2 \cpi \iunit a}}
  = \frac{(2 \cpi)^s \expe^{\cpi \iunit s/2}}{\EulerGamma@{s}} \HurwitzZeta@{1-s}{a}
}

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MathML (16.546 KB / 2.279 KB) :

\Polylogarithm ⁢ s ⁢ @ ⁢ e 2 ⁢ π ⁢ i ⁢ a + e π ⁢ i ⁢ s ⁢ \Polylogarithm ⁢ s ⁢ @ ⁢ e - 2 ⁢ π ⁢ i ⁢ a = ( 2 ⁢ π ) s ⁢ e π ⁢ i ⁢ s / 2 Γ ⁡ ( s ) ⁢ \HurwitzZeta ⁢ @ ⁢ 1 - s ⁢ a \Polylogarithm 𝑠 @ 2 imaginary-unit 𝑎 imaginary-unit 𝑠 \Polylogarithm 𝑠 @ 2 imaginary-unit 𝑎 superscript 2 𝑠 imaginary-unit 𝑠 2 Euler-Gamma 𝑠 \HurwitzZeta @ 1 𝑠 𝑎 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\Polylogarithm{s}@{{\mathrm{e}^{2\pi% \mathrm{i}a}}}+{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}s}}\Polylogarithm{s}@{{\mathrm{e}^{-2% \pi\mathrm{i}a}}}=\frac{(2\pi)^{s}{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}s/2}}}{\Gamma\left% (s\right)}\HurwitzZeta@{1-s}{a}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\Polylogarithm{s}@{{\mathrm{e}^{2\pi%&#10;\mathrm{i}a}}}+{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}s}}\Polylogarithm{s}@{{\mathrm{e}^{-2%&#10;\pi\mathrm{i}a}}}=\frac{(2\pi)^{s}{\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}s/2}}}{\Gamma\left%&#10;(s\right)}\HurwitzZeta@{1-s}{a}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\Polylogarithm</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.4.4" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">e</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.2.1.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.3.1.cmml">i</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5b" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.4.cmml">a</mi>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.6.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">e</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.1.1.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.4.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.2.1.cmml">i</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.4.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.3.cmml">s</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7b.cmml">\Polylogarithm</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.2.1b" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.2.1c" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.10.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.10.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.cmml">e</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3.1.cmml">π</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1a" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.4.1.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1b" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.5.cmml">a</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">=</mo>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.12.2.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  </mrow>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.1.1.cmml">π</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6.1a" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.6.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.3.1.1.4.cmml">/</mo>
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                  </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.5.cmml">s</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13b.cmml">
            <mtext id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13b.cmml">\HurwitzZeta</mtext>
          </merror>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">@</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">1</mn>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.cmml">
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          <mo id="p1.1.m1.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">a</mi>
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              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
                <mtext id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">\Polylogarithm</mtext>
              </merror>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">𝑠</ci>
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                <times id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.5"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.1">2</cn>
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                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.4.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.3.2">imaginary-unit</csymbol>
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            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.7b.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
                <mtext id="p1.1.m1.1.7a.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">\Polylogarithm</mtext>
              </merror>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑠</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">@</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.4">
              <power id="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.4"/>
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              <apply id="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1">
                <minus id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1"/>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2">2</cn>
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                </apply>
              </apply>
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              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">
                <mtext id="p1.1.m1.1.13a.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">\HurwitzZeta</mtext>
              </merror>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">1</cn>
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