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Display information for equation id:math.2599.0 on revision:2599

* Page found: Formula:DLMF:25.11:E6 (eq math.2599.0)

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{\displaystyle 
  \HurwitzZeta@{s}{a}
  = \frac{1}{a^s} \left( \frac{1}{2} + \frac{a}{s-1} \right)
  - s (s+1)
    \int_0^\infty \frac{\PeriodicBernoulliB{2}@{x}}{(x+a)^{s+2}} \diff{x}
}

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MathML (13.896 KB / 2.132 KB) :

ζ ⁡ ( s , a ) = 1 a s ⁢ ( 1 2 + a s - 1 ) - s ⁢ ( s + 1 ) ⁢ ∫ 0 ∞ B ~ 2 ⁡ ( x ) ( x + a ) s + 2 ⁢ \diffd ⁡ x Hurwitz-zeta 𝑠 𝑎 1 superscript 𝑎 𝑠 1 2 𝑎 𝑠 1 𝑠 𝑠 1 superscript subscript 0 periodic-Bernoulli-polynomial-B 2 𝑥 superscript 𝑥 𝑎 𝑠 2 𝑥 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s,a\right)=\frac{1}{a^{s}% }\left(\frac{1}{2}+\frac{a}{s-1}\right)-s(s+1)\int_{0}^{\infty}\frac{% \widetilde{B}_{2}\left(x\right)}{(x+a)^{s+2}}\diffd x}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s,a\right)=\frac{1}{a^{s}%&#10;}\left(\frac{1}{2}+\frac{a}{s-1}\right)-s(s+1)\int_{0}^{\infty}\frac{%&#10;\widetilde{B}_{2}\left(x\right)}{(x+a)^{s+2}}\diffd x}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.9.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.7.cmml">a</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">a</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">s</mi>
              </msup>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.21.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">1</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.cmml">2</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">+</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">a</mi>
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                  </mrow>
                </mfrac>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.21.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">s</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">+</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">1</mn>
            </mrow>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.21.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <msubsup id="p1.1.m1.1.21.1.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.3.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">∫</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">0</mn>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">∞</mi>
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                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.1.1.cmml">B</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.1.1.cmml">~</mo>
                      </mover>
                      <mn id="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.3.1.cmml">2</mn>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.cmml">x</mi>
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                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19.3.5" xref="p1.1.m1.1.19.3.8.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.19.3.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.6.1.1.cmml">s</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.19.3.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.6.1.2.cmml">+</mo>
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
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        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.9.2">
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.7">𝑎</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">
          <minus id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1">
            <times id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1"/>
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              <apply id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
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                <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1">𝑠</ci>
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            </apply>
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            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑠</ci>
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