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{\displaystyle 
  \Dilogarithm@{z^m}
  = m \sum_{k=0}^{m-1} \Dilogarithm@{z \expe^{2 \cpi \iunit k/m}}
}

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\Dilogarithm @ z m = m k = 0 m - 1 \Dilogarithm @ z e 2 π i k / m \Dilogarithm @ superscript 𝑧 𝑚 𝑚 superscript subscript 𝑘 0 𝑚 1 \Dilogarithm @ 𝑧 2 imaginary-unit 𝑘 𝑚 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\Dilogarithm@{z^{m}}=m\sum_{k=0}^{m-% 1}\Dilogarithm@{z{\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/m}}}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\Dilogarithm@{z^{m}}=m\sum_{k=0}^{m-%&#10;1}\Dilogarithm@{z{\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/m}}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">
          <mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\Dilogarithm</mtext>
        </merror>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml"></mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">@</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml"></mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">z</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">m</mi>
        </msup>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">m</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.14.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml">m</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.cmml">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10b.cmml">
              <mtext id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10b.cmml">\Dilogarithm</mtext>
            </merror>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1.cmml"></mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">@</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">z</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1.cmml"></mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.13.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml">e</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.2.1.cmml">π</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1.cmml"></mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.3.1.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1b" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.4.cmml">k</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.5.cmml">/</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.6.cmml">m</mi>
              </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        <eq id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">
          <times id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1"/>
          <ci id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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            </merror>
          </ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">@</ci>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.2">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑧</ci>
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          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">
          <times id="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1"/>
          <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑚</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1">subscript</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.14.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.1"/>
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.10a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">\Dilogarithm</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">@</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑧</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.4">
                <power id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.4"/>
                <exponentiale id="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1">
                  <divide id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.5"/>
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                    <times id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.7.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1">2</cn>
                    <pi id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.2.2"/>
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.3.2">imaginary-unit</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.4">𝑘</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.3.1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.6">𝑚</ci>
                </apply>
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</math>

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{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\Dilogarithm@{z^{m}}=m\sum_{k=0}^{m-% 1}\Dilogarithm@{z{\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/m}}}}}}

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