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Display information for equation id:math.2715.0 on revision:2715

* Page found: Formula:DLMF:25.2:E12 (eq math.2715.0)

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TeX (original user input):

{\displaystyle 
  \RiemannZeta@{s}
  = \frac{(2 \cpi)^s \expe^{-s -(\EulerConstant s/2)}}
         {2(s-1) \EulerGamma@{\tfrac{1}{2} s + 1}}
    \prod_\rho \left( 1 - \frac{s}{\rho} \right) \expe^{s/\rho}
}

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MathML (16.671 KB / 2.352 KB) :

ζ ( s ) = ( 2 \cpi ) s \expe - s - ( \EulerConstant s / 2 ) 2 ( s - 1 ) Γ ( 1 2 s + 1 ) ρ ( 1 - s ρ ) \expe s / ρ Riemann-zeta 𝑠 superscript 2 \cpi 𝑠 superscript \expe 𝑠 \EulerConstant 𝑠 2 2 𝑠 1 Euler-Gamma 1 2 𝑠 1 subscript product 𝜌 1 𝑠 𝜌 superscript \expe 𝑠 𝜌 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{(2\cpi)^{s% }\expe^{-s-(\EulerConstant s/2)}}{2(s-1)\Gamma\left(\tfrac{1}{2}s+1\right)}% \prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)\expe^{s/\rho}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{(2\cpi)^{s%&#10;}\expe^{-s-(\EulerConstant s/2)}}{2(s-1)\Gamma\left(\tfrac{1}{2}s+1\right)}%&#10;\prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right)\expe^{s/\rho}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.1.cmml"></mo>
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3b.cmml">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.3a" xref="p1.1.m1.1.3.2.3b.cmml">\cpi</mtext>
                    </merror>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml">s</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.cmml">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.6b.cmml">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.6a" xref="p1.1.m1.1.3.2.6b.cmml">\expe</mtext>
                </merror>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.10" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.10.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.1.cmml">-</mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.3.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.cmml">
                        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5b.cmml">
                          <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5a" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5b.cmml">\EulerConstant</mtext>
                        </merror>
                        <mo id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.1.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.6.cmml">s</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.7.cmml">/</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.8.cmml">2</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.8" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.9" xref="p1.1.m1.1.3.3.9.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.9.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.9.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">s</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.cmml">1</mn>
                </mrow>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.8a" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.7.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.3.7.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.3.7.7.2a" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.7.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.1.cmml">
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                      <mfrac id="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1.2.cmml">1</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.5.1.3.cmml">2</mn>
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                    </mrow>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.3.3.7.5.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.5.4.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.7.6" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.13.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">ρ</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">-</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">s</mi>
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                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.1.cmml"></mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.3.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11b.cmml">\expe</mtext>
              </merror>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">s</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">/</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.cmml">ρ</mi>
              </mrow>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">𝑠</ci>
        </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.3.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.9">superscript</csymbol>
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                  <times id="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.3.2.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.3">
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.3">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.3">\cpi</mtext>
                    </merror>
                  </ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1">𝑠</ci>
              </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.10">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.2.6b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.6">
                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.6">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.6">\expe</mtext>
                  </merror>
                </ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.2">𝑠</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11">
                    <divide id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.7"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.11.2.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5">
                        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5">
                          <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.5">\EulerConstant</mtext>
                        </merror>
                      </ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.6">𝑠</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.7.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.1.8">2</cn>
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                </apply>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1">2</cn>
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                <minus id="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.4"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3">𝑠</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.5">1</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.3.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.7.2">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.3.3.7.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1">subscript</csymbol>
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                <minus id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
                  <divide id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">𝑠</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3">𝜌</ci>
                </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.11b.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.11a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">\expe</mtext>
                  </merror>
                </ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">
                  <divide id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">𝑠</ci>
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