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Display information for equation id:math.2751.0 on revision:2751

* Page found: Formula:DLMF:25.5:E15 (eq math.2751.0)

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TeX (original user input):

{\displaystyle 
  \RiemannZeta@{s}
  = \frac{1}{s-1} + \frac{\sin@{\cpi s}}{\cpi}
    \*
    \int_0^\infty (\ln@{1+x} - \digamma@{1+x}) x^{-s} \diff{x}
}

TeX (checked):

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MathML (13.275 KB / 1.994 KB) :

ζ ( s ) = 1 s - 1 + sin ( \cpi s ) \cpi 0 ( ln ( 1 + x ) - ψ ( 1 + x ) ) x - s \diffd x Riemann-zeta 𝑠 1 𝑠 1 \cpi 𝑠 \cpi superscript subscript 0 1 𝑥 digamma 1 𝑥 superscript 𝑥 𝑠 𝑥 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+% \frac{\sin\!\left(\cpi s\right)}{\cpi}\*\int_{0}^{\infty}(\ln\!\left(1+x\right% )-\psi\left(1+x\right))x^{-s}\diffd x}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+%&#10;\frac{\sin\!\left(\cpi s\right)}{\cpi}\*\int_{0}^{\infty}(\ln\!\left(1+x\right%&#10;)-\psi\left(1+x\right))x^{-s}\diffd x}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">s</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
                <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.1.cmml">sin</mi>
                </mpadded>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.8.2a" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.cmml">
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1b.cmml">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1a" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1b.cmml">\cpi</mtext>
                    </merror>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.3.cmml"></mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.5.3b.cmml">\cpi</mtext>
              </merror>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.1.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">0</mn>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml"></mi>
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            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.11.8.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                    <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml">ln</mi>
                    </mpadded>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.8.2a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.11.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.11.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.11.6" xref="p1.1.m1.1.11.6.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.11.6.1" xref="p1.1.m1.1.11.6.1.cmml">1</mn>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.11.6.3" xref="p1.1.m1.1.11.6.3.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.11.7" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml">ψ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.13.7.2a" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml"></mo>
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                      </mrow>
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                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">x</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.2.cmml">s</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.1.2.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
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                </merror>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.2a" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">x</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        </apply>
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          <plus id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
            <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">1</cn>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
              <minus id="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1">𝑠</ci>
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            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.1">
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                <sin id="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6">
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                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.6.1">\cpi</mtext>
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                  </ci>
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              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.5.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">\cpi</mtext>
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