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Display information for equation id:math.2763.0 on revision:2763

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{\displaystyle 
  \RiemannZeta@{s}
  = \frac{\EulerGamma@{1-s}}{2 \cpi \iunit}
    \int_{-\infty}^{(0+)} \frac{z^{s-1}}{\expe^{-z}-1} \diff{z}
}

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MathML (12.058 KB / 1.887 KB) :

ζ ( s ) = Γ ( 1 - s ) 2 \cpi \iunit - ( 0 + ) z s - 1 \expe - z - 1 \diffd z Riemann-zeta 𝑠 Euler-Gamma 1 𝑠 2 \cpi \iunit superscript subscript limit-from 0 superscript 𝑧 𝑠 1 superscript \expe 𝑧 1 𝑧 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{\Gamma% \left(1-s\right)}{2\cpi\iunit}\int_{-\infty}^{(0+)}\frac{z^{s-1}}{\expe^{-z}-1% }\diffd z}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(s\right)=\frac{\Gamma%&#10;\left(1-s\right)}{2\cpi\iunit}\int_{-\infty}^{(0+)}\frac{z^{s-1}}{\expe^{-z}-1%&#10;}\diffd z}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">s</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.2.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.3.cmml">s</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml"></mo>
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.3.3.2a" xref="p1.1.m1.1.3.3.2b.cmml">\cpi</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.4a" xref="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml"></mo>
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.3.3.3a" xref="p1.1.m1.1.3.3.3b.cmml">\iunit</mtext>
              </merror>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.9.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">-</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml"></mi>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.6.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.6.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.1.6.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml">0</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.1.3.cmml">+</mo>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.6.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </msubsup>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.9.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">z</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1.cmml">s</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mrow id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.7.3.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">
                    <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1b.cmml">
                      <mtext id="p1.1.m1.1.7.3.1a" xref="p1.1.m1.1.7.3.1b.cmml">\expe</mtext>
                    </merror>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.2.cmml">z</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.7.3.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1.cmml"></mo>
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              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.8.2.1a" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">\diffd</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.cmml">z</mi>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">𝑠</ci>
        </apply>
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          <times id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1"/>
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            <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
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              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
              <times id="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.4"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1">2</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.3.3.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2">\cpi</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.3.3.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3">\iunit</mtext>
                </merror>
              </ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1">
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                <plus id="p1.1.m1.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.3"/>
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              <apply id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.4">1</cn>
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