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{\displaystyle 
\frac{1}{2\cpi \iunit}\int_{-\iunit\infty}^{\iunit\infty}\frac{\EulerGamma@{a+s}\EulerGamma@{b-s}}{\EulerGamma@{c+s}\EulerGamma@{d-s}}\,ds
=\frac{\EulerGamma@{a+b}\EulerGamma@{c+d-a-b-1}}{\EulerGamma@{c+d-1}\EulerGamma@{c-a}\EulerGamma@{d-b}}
}

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1 2 ⁢ \cpi ⁢ \iunit ⁢ ∫ - \iunit ⁢ ∞ \iunit ⁢ ∞ Γ ⁡ ( a + s ) ⁢ Γ ⁡ ( b - s ) Γ ⁡ ( c + s ) ⁢ Γ ⁡ ( d - s ) ⁢ 𝑑 s = Γ ⁡ ( a + b ) ⁢ Γ ⁡ ( c + d - a - b - 1 ) Γ ⁡ ( c + d - 1 ) ⁢ Γ ⁡ ( c - a ) ⁢ Γ ⁡ ( d - b ) 1 2 \cpi \iunit superscript subscript \iunit \iunit Euler-Gamma 𝑎 𝑠 Euler-Gamma 𝑏 𝑠 Euler-Gamma 𝑐 𝑠 Euler-Gamma 𝑑 𝑠 differential-d 𝑠 Euler-Gamma 𝑎 𝑏 Euler-Gamma 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 1 Euler-Gamma 𝑐 𝑑 1 Euler-Gamma 𝑐 𝑎 Euler-Gamma 𝑑 𝑏 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{2\cpi\iunit}\int_{-\iunit% \infty}^{\iunit\infty}\frac{\Gamma\left(a+s\right)\Gamma\left(b-s\right)}{% \Gamma\left(c+s\right)\Gamma\left(d-s\right)}\,ds=\frac{\Gamma\left(a+b\right)% \Gamma\left(c+d-a-b-1\right)}{\Gamma\left(c+d-1\right)\Gamma\left(c-a\right)% \Gamma\left(d-b\right)}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{2\cpi\iunit}\int_{-\iunit%&#10;\infty}^{\iunit\infty}\frac{\Gamma\left(a+s\right)\Gamma\left(b-s\right)}{%&#10;\Gamma\left(c+s\right)\Gamma\left(d-s\right)}\,ds=\frac{\Gamma\left(a+b\right)%&#10;\Gamma\left(c+d-a-b-1\right)}{\Gamma\left(c+d-1\right)\Gamma\left(c-a\right)%&#10;\Gamma\left(d-b\right)}}}}" display="inline">
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          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo>
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2b.cmml">\cpi</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.4a" xref="p1.1.m1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo>
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.3b.cmml">\iunit</mtext>
              </merror>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.11.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">∫</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.1.4.cmml">
                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2b.cmml">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.3.1.2b.cmml">\iunit</mtext>
                  </merror>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.4.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">∞</mi>
                </mrow>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1b.cmml">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.4.1.1b.cmml">\iunit</mtext>
                </merror>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml">⁢</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.5b" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.5.1.cmml">a</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.5.2.cmml">+</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.5.3.cmml">s</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.5.1.cmml">b</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.5.2.cmml">-</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.2.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.5.3.cmml">s</mi>
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                      </mrow>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3.cmml">s</mi>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3.cmml">s</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml">)</mo>
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              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">𝑑</mo>
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        <mfrac id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
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              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.10.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.10" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.1.cmml">c</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.2.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.3.cmml">d</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.5.cmml">a</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4a" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.7" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.7.cmml">b</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4b" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.4.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.10.2.2.5.9" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.5.9.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.10.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.10.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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                <mo id="p1.1.m1.1.10.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.10.3.3.1.cmml">(</mo>
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                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2">
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              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3">
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                </merror>
              </ci>
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          </apply>
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                  <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.1">
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                </ci>
                <infinity id="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.2"/>
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