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{\displaystyle 
\index{q-Gamma function@$q$-Gamma function}
\qGamma{q}@{x}:=\frac{\qPochhammer{q}{q}{\infty}}{\qPochhammer{q^x}{q}{\infty}}(1-q)^{1-x}
}

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Γ q ⁡ ( x ) := \qPochhammer ⁢ q ⁢ q ⁢ ∞ \qPochhammer ⁢ q x ⁢ q ⁢ ∞ ⁢ ( 1 - q ) 1 - x assign q-Gamma 𝑞 𝑥 \qPochhammer 𝑞 𝑞 \qPochhammer superscript 𝑞 𝑥 𝑞 superscript 1 𝑞 1 𝑥 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\Gamma_{q}\left(x\right):=\frac{% \qPochhammer{q}{q}{\infty}}{\qPochhammer{q^{x}}{q}{\infty}}(1-q)^{1-x}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\Gamma_{q}\left(x\right):=\frac{%&#10;\qPochhammer{q}{q}{\infty}}{\qPochhammer{q^{x}}{q}{\infty}}(1-q)^{1-x}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">Γ</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml">q</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">x</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">:=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.4.2.1b.cmml">\qPochhammer</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5a" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5b" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">∞</mi>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.4.3.1a" xref="p1.1.m1.1.4.3.1b.cmml">\qPochhammer</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.3.7" xref="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">q</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.4.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.cmml">x</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.6a" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.3.6b" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml">∞</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">⁢</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">-</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">q</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">assign</csymbol>
        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.7.2">
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.4">
            <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2">q-Gamma</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1">𝑞</ci>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">𝑥</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
          <times id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">
            <divide id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.4.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1">\qPochhammer</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2">𝑞</ci>
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            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.3.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1">
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                  <mtext id="p1.1.m1.1.4.3.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1">\qPochhammer</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.7">
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            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.11.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.2">
              <minus id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">1</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑞</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">
              <minus id="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.1">1</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.3">𝑥</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\Gamma_{q}\left(x\right):=\frac{%
\qPochhammer{q}{q}{\infty}}{\qPochhammer{q^{x}}{q}{\infty}}(1-q)^{1-x}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\Gamma_{q}\left(x\right):=\frac{% \qPochhammer{q}{q}{\infty}}{\qPochhammer{q^{x}}{q}{\infty}}(1-q)^{1-x}}}}

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