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{\displaystyle 
\int_0^{\infty}x^{c-1}\frac{\qPochhammer{-ax}{q}{\infty}}{\qPochhammer{-x}{q}{\infty}}\,dx
=\frac{\cpi}{\sin@{\cpi c}}\,\frac{\qPochhammer{a,q^{1-c}}{q}{\infty}}{\qPochhammer{aq^{-c},q}{q}{\infty}}
}

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MathML (16.959 KB / 2.333 KB) :

∫ 0 ∞ x c - 1 ⁢ ( - a ⁢ x ; q ) ∞ ( - x ; q ) ∞ ⁢ 𝑑 x = π sin ⁡ ( π ⁢ c ) ⁢ ( a , q 1 - c ; q ) ∞ ( a ⁢ q - c , q ; q ) ∞ superscript subscript 0 superscript 𝑥 𝑐 1 q-Pochhammer-symbol 𝑎 𝑥 𝑞 q-Pochhammer-symbol 𝑥 𝑞 differential-d 𝑥 𝑐 q-Pochhammer-symbol 𝑎 superscript 𝑞 1 𝑐 𝑞 q-Pochhammer-symbol 𝑎 superscript 𝑞 𝑐 𝑞 𝑞 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{c-1}\frac{\left(% -ax;q\right)_{\infty}}{\left(-x;q\right)_{\infty}}\,dx=\frac{\pi}{\sin\left(% \pi c\right)}\,\frac{\left(a,q^{1-c};q\right)_{\infty}}{\left(aq^{-c},q;q% \right)_{\infty}}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{c-1}\frac{\left(%&#10;-ax;q\right)_{\infty}}{\left(-x;q\right)_{\infty}}\,dx=\frac{\pi}{\sin\left(%&#10;\pi c\right)}\,\frac{\left(a,q^{1-c};q\right)_{\infty}}{\left(aq^{-c},q;q%&#10;\right)_{\infty}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">
          <msubsup id="p1.1.m1.1.14.1.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∫</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">0</mn>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">∞</mi>
          </msubsup>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.14.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">x</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">c</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.6b" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.6.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.2.cmml">a</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.4.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.3.3.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml">;</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.5.cmml">q</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.1.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.7.1.cmml">∞</mi>
                </msub>
                <msub id="p1.1.m1.1.6.3.1.8" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.3.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.3.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.1.cmml">;</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.5.cmml">q</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.1.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.3.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.7.1.cmml">∞</mi>
                </msub>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mpadded>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.3.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
        <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.11b" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml">π</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.2.1.1.cmml">sin</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.11.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.11.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.11.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.3.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.5.1.1.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.5.3.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.3.cmml">q</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.1.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.3.4.1.3.cmml">c</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.1.cmml">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.5.cmml">q</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.7.1.cmml">∞</mi>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.3.3.1.1.cmml">-</mo>
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                      </mrow>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.3.6.cmml">,</mo>
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                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.cmml">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.5.cmml">q</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.13.3.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.7.1.cmml">∞</mi>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3">1</cn>
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