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{\displaystyle
\index{q-Derivative operator@$q$-Derivative operator}
\qderiv{q}f(z):=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{f(z)-f(qz)}{(1-q)z}, & z\neq 0\\[5mm]
f'(0), & z=0.\end{array}\right.
}


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${\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\qderiv{q}f(z):=\left\{\begin{% array}[]{ll}\displaystyle\frac{f(z)-f(qz)}{(1-q)z},&z\neq 0\\ f^{\prime}(0),&z=0.\end{array}\right.}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{}\qderiv{q}f(z):=\left\{\begin{%&#10;array}[]{ll}\displaystyle\frac{f(z)-f(qz)}{(1-q)z},&amp;z\neq 0\\&#10;f^{\prime}(0),&amp;z=0.\end{array}\right.}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
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<mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
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<mtext id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1b.cmml">\qderiv</mtext>
</merror>
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<mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">q</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.12.1.1a" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">f</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.12.1.1b" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">⁢</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">z</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">:=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">
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<mrow id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.11" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.11.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.11.cmml">(</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.11.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.5.cmml">-</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.cmml">(</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.10" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.cmml">)</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.8.2.cmml">(</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.3.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.4.cmml">q</mi>
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</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.3.7.cmml">⁢</mo>
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<msup id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.8.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1.cmml">f</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.2.1.cmml">′</mo>
</msup>
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<merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<mtext id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">\qderiv</mtext>
</merror>
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<ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">𝑞</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑓</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑧</ci>
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<times id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.1.1.2.12.2.2.1"/>
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<ci id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1">𝑓</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.4">0</cn>
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array}[]{ll}\displaystyle\frac{f(z)-f(qz)}{(1-q)z},&amp;z\neq 0\\
f^{\prime}(0),&amp;z=0.\end{array}\right.}}}</annotation>
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[/itex]


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