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{\displaystyle 
\lim_{q\rightarrow 1}\frac{\BesselPoly{n}@{q^x}{a(1-q};q)}{(q-1)^n}=a^n\Charlier{n}@{x}{a}
}

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lim q 1 \BesselPoly n @ q x a ( 1 - q ; q ) ( q - 1 ) n = a n \Charlier n @ x a subscript 𝑞 1 \BesselPoly 𝑛 @ superscript 𝑞 𝑥 𝑎 1 𝑞 𝑞 superscript 𝑞 1 𝑛 superscript 𝑎 𝑛 \Charlier 𝑛 @ 𝑥 𝑎 {\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim_{q\rightarrow 1}\frac{% \BesselPoly{n}@{q^{x}}{a(1-q};q)}{(q-1)^{n}}=a^{n}\Charlier{n}@{x}{a}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim_{q\rightarrow 1}\frac{%&#10;\BesselPoly{n}@{q^{x}}{a(1-q};q)}{(q-1)^{n}}=a^{n}\Charlier{n}@{x}{a}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml"></mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.1a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml"></mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1b.cmml">
                <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.3.2.1b.cmml">\BesselPoly</mtext>
              </merror>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.14" xref="p1.1.m1.1.3.2.14.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.14a" xref="p1.1.m1.1.3.2.14.cmml"></mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml">@</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.14b" xref="p1.1.m1.1.3.2.14.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.15" xref="p1.1.m1.1.3.2.15.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml">q</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml">x</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.14c" xref="p1.1.m1.1.3.2.14.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.14d" xref="p1.1.m1.1.3.2.14.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.16" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.16.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.cmml">q</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.2.11" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.1.cmml">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.12" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.cmml">q</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.13" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.8" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.8.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml">q</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.8.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.6.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.6.1.cmml">n</mi>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
        <msup id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">a</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">n</mi>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
        <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7b.cmml">
          <mtext id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7b.cmml">\Charlier</mtext>
        </merror>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1a" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">n</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1b" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">@</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1c" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">x</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1d" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
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      </mrow>
    </mrow>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">1</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1">
                <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1">\BesselPoly</mtext>
                </merror>
              </ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2">𝑛</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.3">@</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.4">𝑞</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1">𝑥</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.6">𝑎</ci>
              <list id="p1.1.m1.1.3.2.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.16">
                <apply id="p1.1.m1.1.3.2.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.2">
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.8">1</cn>
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                </apply>
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              </list>
            </apply>
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                <minus id="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2">𝑞</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.4">1</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.6.1">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">
          <times id="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑎</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑛</ci>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.7b.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
            <merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
              <mtext id="p1.1.m1.1.7a.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">\Charlier</mtext>
            </merror>
          </ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑛</ci>
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          <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑥</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑎</ci>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim_{q\rightarrow 1}\frac{%
\BesselPoly{n}@{q^{x}}{a(1-q};q)}{(q-1)^{n}}=a^{n}\Charlier{n}@{x}{a}}}}</annotation>
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</math>

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{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle\lim_{q\rightarrow 1}\frac{% \BesselPoly{n}@{q^{x}}{a(1-q};q)}{(q-1)^{n}}=a^{n}\Charlier{n}@{x}{a}}}}

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