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Display information for equation id:math.63441.49 on revision:63441

* Page found: Results of Asymptotic Approximations (eq math.63441.49)

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Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

Occurrences on the following pages:

Hash: f0bc580deccad3c5533c2a3d4efe65dd

TeX (original user input):

\rho_{j}(f_{0}+2\rho_{j})sa_{s,j} = \sum_{r=1}^{s}\left(\rho_{j}^{2}2^{r+1}\binom{\alpha_{j}+r-s}{r+1}+\rho_{j}\sum_{q=0}^{r+1}\binom{\alpha_{j}+r-s}{r+1-q}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}

TeX (checked):

\rho _{j}(f_{0}+2\rho _{j})sa_{s,j}=\sum _{r=1}^{s}\left(\rho _{j}^{2}2^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1}}+\rho _{j}\sum _{q=0}^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1-q}}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.1 KB / 3.277 KB) :

ρ j ( f 0 + 2 ρ j ) s a s , j = r = 1 s ( ρ j 2 2 r + 1 ( α j + r - s r + 1 ) + ρ j q = 0 r + 1 ( α j + r - s r + 1 - q ) f q + g r + 1 ) a s - r , j subscript 𝜌 𝑗 subscript 𝑓 0 2 subscript 𝜌 𝑗 𝑠 subscript 𝑎 𝑠 𝑗 superscript subscript 𝑟 1 𝑠 superscript subscript 𝜌 𝑗 2 superscript 2 𝑟 1 binomial subscript 𝛼 𝑗 𝑟 𝑠 𝑟 1 subscript 𝜌 𝑗 superscript subscript 𝑞 0 𝑟 1 binomial subscript 𝛼 𝑗 𝑟 𝑠 𝑟 1 𝑞 subscript 𝑓 𝑞 subscript 𝑔 𝑟 1 subscript 𝑎 𝑠 𝑟 𝑗 {\displaystyle{\displaystyle\rho_{j}(f_{0}+2\rho_{j})sa_{s,j}=\sum_{r=1}^{s}% \left(\rho_{j}^{2}2^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1}+\rho_{j}% \sum_{q=0}^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1-q}f_{q}+g_{r+1}% \right)a_{s-r,j}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\rho_{j}(f_{0}+2\rho_{j})sa_{s,j}=\sum_{r=1}^{s}%&#10;\left(\rho_{j}^{2}2^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1}+\rho_{j}%&#10;\sum_{q=0}^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1-q}f_{q}+g_{r+1}%&#10;\right)a_{s-r,j}}}" display="inline">
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          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.40.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.40.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">f</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
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            <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">+</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2.1.cmml"></mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.1.3.2.2.2.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">j</mi>
              </msub>
            </mrow>
          </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.40.1.1a" xref="p1.1.m1.1.40.1.1.cmml"></mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.4.cmml">
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml"></mo>
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          </munderover>
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                        </mrow>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.6.cmml">s</mi>
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                </mrow>
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                        <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.31.2.3a" xref="p1.1.m1.1.31.1.cmml">
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                                <mi id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.1.cmml">α</mi>
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                              </msub>
                              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.3.cmml">+</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.4.cmml">r</mi>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.5.cmml">-</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.6.cmml">s</mi>
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                            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.6.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.1.cmml">r</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.2.cmml">+</mo>
                              <mn id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.3.cmml">1</mn>
                            </mrow>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.5.cmml">q</mi>
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                      </mstyle>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">
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          </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑓</ci>
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          <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑠</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑎</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">𝑠</ci>
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                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.4">𝑟</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.6">𝑠</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.24.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.3">
                    <plus id="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.1">𝑟</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.3.1.3">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2">
                <times id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝜌</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">
                        <eq id="p1.1.m1.1.29.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.29.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.1">𝑞</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.3">0</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.30.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1.1">𝑟</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.30.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1.3">1</cn>
                    </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.5">
                      <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2">binomial</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2">
                        <minus id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.5"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7">
                          <plus id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.3"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.7.1">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.1">𝛼</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.2.1">𝑗</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.4">𝑟</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.2.1.6">𝑠</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3">
                        <minus id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.4"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.6">
                          <plus id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.1">𝑟</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.3">1</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.3.3.1.5">𝑞</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.2.3.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝑓</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.1">𝑞</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.2.2.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">𝑔</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1">
                  <plus id="p1.1.m1.1.36.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.36.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1.1">𝑟</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.36.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.1.3">1</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.40.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2.2.3">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">𝑎</ci>
              <list id="p1.1.m1.1.39.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1">
                <apply id="p1.1.m1.1.39.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1.7">
                  <minus id="p1.1.m1.1.39.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.39.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1.1">𝑠</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.39.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1.3">𝑟</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.39.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1.5">𝑗</ci>
              </list>
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      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\rho_{j}(f_{0}+2\rho_{j})sa_{s,j}=\sum_{r=1}^{s}%
\left(\rho_{j}^{2}2^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1}+\rho_{j}%
\sum_{q=0}^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1-q}f_{q}+g_{r+1}%
\right)a_{s-r,j}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (24.963 KB / 6.414 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\rho_{j}(f_{0}+2\rho_{j})sa_{s,j}=\sum_{r=1}^{s}% \left(\rho_{j}^{2}2^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1}+\rho_{j}% \sum_{q=0}^{r+1}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{\alpha_{j}+r-s}{r+1-q}f_{q}+g_{r+1}% \right)a_{s-r,j}}}

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MathML (5.563 KB / 834 B) :

ρ j ( f 0 + 2 ρ j ) s a s , j = r = 1 s ( ρ j 2 2 r + 1 ( α j + r s r + 1 ) + ρ j q = 0 r + 1 ( α j + r s r + 1 q ) f q + g r + 1 ) a s r , j {\displaystyle \rho _{j}(f_{0}+2\rho _{j})sa_{s,j}=\sum _{r=1}^{s}\left(\rho _{j}^{2}2^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1}}+\rho _{j}\sum _{q=0}^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1-q}}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \rho _{j}(f_{0}+2\rho _{j})sa_{s,j}=\sum _{r=1}^{s}\left(\rho _{j}^{2}2^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1}}+\rho _{j}\sum _{q=0}^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1-q}}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>&#x03C1;<!-- ρ --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          </mrow>
        </msub>
        <mo stretchy="false">)</mo>
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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            <mn>1</mn>
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            <mi>s</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
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            <msubsup>
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                <mi>j</mi>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msubsup>
            <msup>
              <mn>2</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>r</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msup>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
                  <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
                </mrow>
                <mfrac linethickness="0">
                  <mrow>
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                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>j</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo>+</mo>
                    <mi>r</mi>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                    <mi>s</mi>
                  </mrow>
                  <mrow>
                    <mi>r</mi>
                    <mo>+</mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mrow>
                </mfrac>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
                  <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <msub>
              <mi>&#x03C1;<!-- ρ --></mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>j</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <munderover>
              <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>q</mi>
                <mo>=</mo>
                <mn>0</mn>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>r</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </munderover>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
                  <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
                </mrow>
                <mfrac linethickness="0">
                  <mrow>
                    <msub>
                      <mi>&#x03B1;<!-- α --></mi>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>j</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo>+</mo>
                    <mi>r</mi>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                    <mi>s</mi>
                  </mrow>
                  <mrow>
                    <mi>r</mi>
                    <mo>+</mo>
                    <mn>1</mn>
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                    <mi>q</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
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              <mi>f</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>q</mi>
              </mrow>
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            <mo>+</mo>
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              <mi>g</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho _{j}(f_{0}+2\rho _{j})sa_{s,j}=\sum _{r=1}^{s}\left(\rho _{j}^{2}2^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1}}+\rho _{j}\sum _{q=0}^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1-q}}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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{\displaystyle \rho _{j}(f_{0}+2\rho _{j})sa_{s,j}=\sum _{r=1}^{s}\left(\rho _{j}^{2}2^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1}}+\rho _{j}\sum _{q=0}^{r+1}{\binom {\alpha _{j}+r-s}{r+1-q}}f_{q}+g_{r+1}\right)a_{s-r,j}}

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