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* Page found: Results of Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals (eq math.63446.47)

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\auxFresnelf@{z} = \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\pi z^{2}t/2}}{\sqrt{t}(t^{2}+1)}\diff{t}

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f ( z ) = 1 π 2 0 e - π z 2 t / 2 t ( t 2 + 1 ) d t Fresnel-auxilliary-function-f 𝑧 1 𝜋 2 superscript subscript 0 superscript 𝑒 𝜋 superscript 𝑧 2 𝑡 2 𝑡 superscript 𝑡 2 1 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\mathrm{f}\left(z\right)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\int% _{0}^{\infty}\frac{e^{-\pi z^{2}t/2}}{\sqrt{t}(t^{2}+1)}\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\mathrm{f}\left(z\right)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\int%&#10;_{0}^{\infty}\frac{e^{-\pi z^{2}t/2}}{\sqrt{t}(t^{2}+1)}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">f</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">z</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml"></mo>
              <msqrt id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn>
              </msqrt>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.9.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml"></mi>
            </msubsup>
          </mstyle>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2.cmml">π</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.1.cmml"></mo>
                        <msup id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3.cmml">z</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4.1.cmml">2</mn>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.1a" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.1.1.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.cmml">t</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.6.cmml">/</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.7.cmml">2</mn>
                    </mrow>
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                </msup>
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                  <msqrt id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">
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                  </msqrt>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7.3.8" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.cmml"></mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.9.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.9.2.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.7.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.9.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">t</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.7.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.7.3.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.7.3.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.6.cmml">1</mn>
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            </mstyle>
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              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">d</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.cmml">t</mi>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1">𝜋</ci>
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              <infinity id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1"/>
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                    <minus id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.8">
                      <divide id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.6"/>
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                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4.1">2</cn>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5">𝑡</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">
                    <root id="p1.1.m1.1.7.3.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.2">𝑡</ci>
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