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\EulerGamma@{a}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}z^{a+k}}{k!(a+k)} = \EulerGamma@{a}\left(1-z^{a}e^{-z}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\EulerGamma@{a+k+1}}\right)

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MathML (17.493 KB / 2.437 KB) :

Γ ⁡ ( a ) - ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ⁢ z a + k k ! ⁢ ( a + k ) = Γ ⁡ ( a ) ⁢ ( 1 - z a ⁢ e - z ⁢ ∑ k = 0 ∞ z k Γ ⁡ ( a + k + 1 ) ) Euler-Gamma 𝑎 superscript subscript 𝑘 0 superscript 1 𝑘 superscript 𝑧 𝑎 𝑘 𝑘 𝑎 𝑘 Euler-Gamma 𝑎 1 superscript 𝑧 𝑎 superscript 𝑒 𝑧 superscript subscript 𝑘 0 superscript 𝑧 𝑘 Euler-Gamma 𝑎 𝑘 1 {\displaystyle{\displaystyle\Gamma\left(a\right)-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)% ^{k}z^{a+k}}{k!(a+k)}=\Gamma\left(a\right)\left(1-z^{a}e^{-z}\sum_{k=0}^{% \infty}\frac{z^{k}}{\Gamma\left(a+k+1\right)}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Gamma\left(a\right)-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)%&#10;^{k}z^{a+k}}{k!(a+k)}=\Gamma\left(a\right)\left(1-z^{a}e^{-z}\sum_{k=0}^{%&#10;\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma\left(a+k+1\right)}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">a</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.21.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">∞</mi>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.6.2.9" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml">k</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.2.8" xref="p1.1.m1.1.6.2.8.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.6.2.10" xref="p1.1.m1.1.6.2.10.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml">z</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1.1.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1.2.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.1.3.cmml">k</mi>
                  </mrow>
                </msup>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.9" xref="p1.1.m1.1.6.3.9.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">k</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.8" xref="p1.1.m1.1.6.3.8.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.10" xref="p1.1.m1.1.6.3.10.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.10.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.3.10.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.10.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.6.3.5.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.6.3.6" xref="p1.1.m1.1.6.3.6.cmml">k</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6.3.7" xref="p1.1.m1.1.6.3.10.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">Γ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.8.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.8.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.8.5" xref="p1.1.m1.1.8.5.cmml">a</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.8.6" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.cmml">(</mo>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">z</mi>
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              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">z</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4.1.cmml">
                  <munderover id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4.1a" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.4.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">∑</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.17.1.3" xref="p1.1.m1.1.17.1.3.cmml">0</mn>
                    </mrow>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">∞</mi>
                  </munderover>
                </mstyle>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.19a" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.cmml">z</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.2.1.cmml">k</mi>
                    </msup>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.19.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.19.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.19.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml">(</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.19.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.5.1.cmml">a</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.19.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.19.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.5.3.cmml">k</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.19.3.1.5.2a" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.5.2.cmml">+</mo>
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                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
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                  </mfrac>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.cmml">)</mo>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.1">𝑘</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.6">𝑧</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.6.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.4">𝑎</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.6.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.6">𝑘</ci>
                </apply>
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          </apply>
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          <times id="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.1.2">superscript</csymbol>
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