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\left(\frac{z+\zeta}{z-\zeta}\right)^{\frac{1}{2}\nu}\HankelH{2}{\nu}@{(z^{2}-\zeta^{2})^{\frac{1}{2}}} = -\frac{1}{\pi i}e^{\frac{1}{2}\nu\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iz\cosh@@{t}-i\zeta\sinh@@{t}-\nu t}\diff{t}

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( z + ζ z - ζ ) 1 2 ν H ν ( 2 ) ( ( z 2 - ζ 2 ) 1 2 ) = - 1 π i e 1 2 ν π i - e - i z cosh t - i ζ sinh t - ν t d t superscript 𝑧 𝜁 𝑧 𝜁 1 2 𝜈 Hankel-H-2-Bessel-third-kind 𝜈 superscript superscript 𝑧 2 superscript 𝜁 2 1 2 1 𝜋 𝑖 superscript 𝑒 1 2 𝜈 𝜋 𝑖 superscript subscript superscript 𝑒 𝑖 𝑧 𝑡 𝑖 𝜁 𝑡 𝜈 𝑡 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\left(\frac{z+\zeta}{z-\zeta}\right)^{\frac{1}{2}% \nu}{H^{(2)}_{\nu}}\left((z^{2}-\zeta^{2})^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{\pi i% }e^{\frac{1}{2}\nu\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iz\cosh t-i\zeta\sinh t-\nu t% }\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left(\frac{z+\zeta}{z-\zeta}\right)^{\frac{1}{2}%&#10;\nu}{H^{(2)}_{\nu}}\left((z^{2}-\zeta^{2})^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{\pi i%&#10;}e^{\frac{1}{2}\nu\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iz\cosh t-i\zeta\sinh t-\nu&#10;t%&#10;}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">z</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">+</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">ζ</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">ζ</mi>
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            <mfrac id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.4.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.2.cmml">1</mn>
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            </mfrac>
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          <msubsup id="p1.1.m1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.1.cmml">H</mi>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.5.10.2.cmml">(</mo>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.5.5.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.5.10.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.5.2.cmml">z</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.5.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.5.3.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.5.4.cmml">-</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.5.5.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.5.5.10.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.5.5" xref="p1.1.m1.1.5.5.5.cmml">ζ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.5.5.6.1" xref="p1.1.m1.1.5.5.6.1.cmml">2</mn>
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              <mfrac id="p1.1.m1.1.5.5.8.1" xref="p1.1.m1.1.5.5.8.1.cmml">
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                <mn id="p1.1.m1.1.5.5.8.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.5.8.1.1.3.cmml">2</mn>
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            </msup>
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          </mrow>
        </mrow>
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              </mfrac>
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              <mi id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">ν</mi>
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                  </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.15.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.13.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.7.cmml">ζ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.15.1.13.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.13.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.8.5" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.15.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.2.1.1.cmml">sinh</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.8.5a" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.1.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.15.1.8.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.4.cmml">t</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.15.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.14.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.11" xref="p1.1.m1.1.15.1.11.cmml">t</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.17.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.3.2.1.cmml"></mo>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2.1">𝑧</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2.3">𝜁</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.1">𝑧</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.5.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.5.2">𝑧</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.5.3.1">2</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.5.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.5.5">𝜁</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.5.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.5.6.1">2</cn>
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              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3">
                <times id="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1">𝜋</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2">𝑖</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑒</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">
                <times id="p1.1.m1.1.10.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.5"/>
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                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.2">𝜈</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.3">𝜋</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.4">𝑖</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.3.1">subscript</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
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                        <ci id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2">𝑖</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3">𝑧</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.15.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.4.5">
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                      <times id="p1.1.m1.1.15.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.13.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.15.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.6">𝑖</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.15.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.7">𝜁</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.15.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.5">
                        <sinh id="p1.1.m1.1.15.1.8.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.2.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.15.1.8.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.8.4">𝑡</ci>
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