Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.63450.21 on revision:63450

* Page found: Results of Algebraic and Analytic Methods (eq math.63450.21)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: 6249e6ba7943d033a9647952b127c6ad

TeX (original user input): 

\pderiv[2]{f}{x}+\pderiv[2]{f}{y}+\pderiv[2]{f}{z} = {\frac{1}{\rho^{2}}\pderiv{}{\rho}\left(\rho^{2}\pderiv{f}{\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}\sin^{2}@@{\theta}}\pderiv[2]{f}{\phi}}+\frac{1}{\rho^{2}\sin@@{\theta}}\pderiv{}{\theta}\left(\sin@@{\theta}\pderiv{f}{\theta}\right)

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (23.759 KB / 2.802 KB) :

∂ 2 ⁡ f ∂ ⁡ x 2 + ∂ 2 ⁡ f ∂ ⁡ y 2 + ∂ 2 ⁡ f ∂ ⁡ z 2 = 1 ρ 2 ⁢ ∂ ∂ ⁡ ρ ⁡ ( ρ 2 ⁢ ∂ ⁡ f ∂ ⁡ ρ ) + 1 ρ 2 ⁢ sin 2 ⁡ θ ⁢ ∂ 2 ⁡ f ∂ ⁡ ϕ 2 + 1 ρ 2 ⁢ sin ⁡ θ ⁢ ∂ ∂ ⁡ θ ⁡ ( sin ⁡ θ ⁢ ∂ ⁡ f ∂ ⁡ θ ) partial-derivative 𝑓 𝑥 2 partial-derivative 𝑓 𝑦 2 partial-derivative 𝑓 𝑧 2 1 superscript 𝜌 2 partial-derivative 𝜌 superscript 𝜌 2 partial-derivative 𝑓 𝜌 1 superscript 𝜌 2 2 𝜃 partial-derivative 𝑓 italic-ϕ 2 1 superscript 𝜌 2 𝜃 partial-derivative 𝜃 𝜃 partial-derivative 𝑓 𝜃 {\displaystyle{\displaystyle\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial x}^{2}}+\frac{{% \partial}^{2}f}{{\partial y}^{2}}+\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial z}^{2}}={% \frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^{2}\frac{\partial f}% {\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}{\sin^{2}}\theta}\frac{{\partial}^{2}f}% {{\partial\phi}^{2}}}+\frac{1}{\rho^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial% \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial x}^{2}}+\frac{{%&#10;\partial}^{2}f}{{\partial y}^{2}}+\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial z}^{2}}={%&#10;\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^{2}\frac{\partial f}%&#10;{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}{\sin^{2}}\theta}\frac{{\partial}^{2}f}%&#10;{{\partial\phi}^{2}}}+\frac{1}{\rho^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial%&#10;\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
              <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mpadded>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
                <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.1.2.cmml">x</mi>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">+</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
              <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mpadded>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
                <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2.1.2.cmml">y</mi>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">+</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.5.2a" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.3.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mpadded>
              <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2a" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2.1.2.cmml">z</mi>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">1</mn>
              <msup id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">ρ</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.7.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.24.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.8.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">∂</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                  <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.8.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3a" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.2.cmml">ρ</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.24.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">ρ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.12.2a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                      <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.2.2a" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2.cmml">f</mi>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                      <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.12.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.2.3a" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.1.2.cmml">ρ</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.15a" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">1</mn>
              <mrow id="p1.1.m1.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.15.3.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.15.3.5" xref="p1.1.m1.1.15.3.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.cmml">ρ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.15.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.2.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.15.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.3.4.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.2.1.1.cmml">sin</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.3.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.15.3.3.5a" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.15.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.4.cmml">θ</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.24.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.16.2a" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">∂</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.3.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mpadded>
                <mo id="p1.1.m1.1.16.2.2a" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">⁡</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.2.cmml">f</mi>
              </mrow>
              <msup id="p1.1.m1.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
                  <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2.1.2.cmml">ϕ</mi>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.3" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.18a" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">1</mn>
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.18.3.5" xref="p1.1.m1.1.18.3.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.18.3.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.cmml">ρ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.18.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.2.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.18.3.4" xref="p1.1.m1.1.18.3.4.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.18.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.18.3.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.2.1.1.cmml">sin</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.18.3.3.5a" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.18.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.4.cmml">θ</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.24.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.19.2a" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">
                <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">∂</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">
                  <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.19.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.19.2.3a" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.19.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.3.1.2.cmml">θ</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.24.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.cmml">⁡</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.21.5" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.1.cmml">sin</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.21.5a" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.4" xref="p1.1.m1.1.21.4.cmml">θ</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.22.2a" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                      <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.22.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.22.2.2a" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.22.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.2.1.2.cmml">f</mi>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.22.2.3" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                      <mo rspace="0.8pt" id="p1.1.m1.1.22.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.22.2.3a" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.22.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.3.1.2.cmml">θ</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">
        <eq id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1">
          <plus id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">partial-derivative</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑓</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.1.2.1.2">𝑥</ci>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3">2</cn>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.2">partial-derivative</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.2">𝑓</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.1.2.1.2">𝑦</ci>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.1.3">2</cn>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.2">partial-derivative</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2">𝑓</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.1.2.1.2">𝑧</ci>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.3">2</cn>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2">
          <plus id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.24.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
              <divide id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">𝜌</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1">2</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2">partial-derivative</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.2">𝜌</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1">
                <times id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2.1.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝜌</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.1">partial-derivative</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2">𝑓</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.1.2">𝜌</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
              <divide id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3">
                <times id="p1.1.m1.1.15.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.5">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.5">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.1">𝜌</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.2.1">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.5">
                  <apply id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.4">
                    <power id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.4"/>
                    <sin id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.2.1.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.2.1.3.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.4">𝜃</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.2">partial-derivative</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.2">𝑓</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.3.1.2.1.2">italic-ϕ</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.1.3">2</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.24.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3">
            <times id="p1.1.m1.1.24.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">
              <divide id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.18.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3">
                <times id="p1.1.m1.1.18.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.18.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.5">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.5">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.18.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.1">𝜌</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.18.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.2.1">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.18.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.5">
                  <sin id="p1.1.m1.1.18.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.18.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3.3.4">𝜃</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2.2">partial-derivative</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.19.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2.3.1.2">𝜃</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1">
                <times id="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.2.1.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.5">
                  <sin id="p1.1.m1.1.21.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.21.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.4">𝜃</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2.2.1.1">partial-derivative</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.22.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2.2.1.2">𝑓</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.22.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2.3.1.2">𝜃</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial x}^{2}}+\frac{{%
\partial}^{2}f}{{\partial y}^{2}}+\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial z}^{2}}={%
\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^{2}\frac{\partial f}%
{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}{\sin^{2}}\theta}\frac{{\partial}^{2}f}%
{{\partial\phi}^{2}}}+\frac{1}{\rho^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial%
\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (26.544 KB / 6.426 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial x}^{2}}+\frac{{% \partial}^{2}f}{{\partial y}^{2}}+\frac{{\partial}^{2}f}{{\partial z}^{2}}={% \frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^{2}\frac{\partial f}% {\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}{\sin^{2}}\theta}\frac{{\partial}^{2}f}% {{\partial\phi}^{2}}}+\frac{1}{\rho^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial% \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)}}

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Results of Algebraic and Analytic Methods page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results

Retrieved from "https://drmf-beta.wmflabs.org/wiki/Special:FormulaInfo"