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a_{k} = \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f_{j}\conj{\phi_{k}(x_{j})}

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a k = 1 n ⁢ ∑ j = 0 n - 1 f j ⁢ ϕ k ⁢ ( x j ) ¯ subscript 𝑎 𝑘 1 𝑛 superscript subscript 𝑗 0 𝑛 1 subscript 𝑓 𝑗 subscript italic-ϕ 𝑘 subscript 𝑥 𝑗 {\displaystyle{\displaystyle a_{k}=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f_{j}\overline{% \phi_{k}(x_{j})}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle a_{k}=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f_{j}\overline{%&#10;\phi_{k}(x_{j})}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">a</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">k</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">1</mn>
            <mi id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">n</mi>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.11.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">j</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">f</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">j</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.8.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml">ϕ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.1.cmml">k</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.7.cmml">⁢</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2.cmml">(</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.4.cmml">x</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.5.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        <eq id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">subscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑎</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑘</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">𝑛</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.1">𝑗</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.7"/>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.8">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1">italic-ϕ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.1">𝑘</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.9">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.4">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1.5.1">𝑗</ci>
                  </apply>
                </apply>
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\phi_{k}(x_{j})}}}</annotation>
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</math>

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{\displaystyle{\displaystyle a_{k}=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f_{j}\overline{% \phi_{k}(x_{j})}}}

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