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Display information for equation id:math.63454.63 on revision:63454

* Page found: Results of Gamma Function (eq math.63454.63)

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\Ln@@{\EulerGamma@{z}} = \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ln@@{z}-z+\tfrac{1}{2}\ln@{2\pi}+2\int_{0}^{\infty}\frac{\atan@{t/z}}{e^{2\pi t}-1}\diff{t}

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Ln Γ ( z ) = ( z - 1 2 ) ln z - z + 1 2 ln ( 2 π ) + 2 0 arctan ( t / z ) e 2 π t - 1 d t multivalued-natural-logarithm Euler-Gamma 𝑧 𝑧 1 2 𝑧 𝑧 1 2 2 𝜋 2 superscript subscript 0 𝑡 𝑧 superscript 𝑒 2 𝜋 𝑡 1 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\operatorname{Ln}\Gamma\left(z\right)=\left(z-% \tfrac{1}{2}\right)\ln z-z+\tfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+2\int_{0}^{\infty}% \frac{\operatorname{arctan}\left(t/z\right)}{e^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\operatorname{Ln}\Gamma\left(z\right)=\left(z-%&#10;\tfrac{1}{2}\right)\ln z-z+\tfrac{1}{2}\ln\left(2\pi\right)+2\int_{0}^{\infty}%&#10;\frac{\operatorname{arctan}\left(t/z\right)}{e^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">Ln</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.5.cmml">z</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">z</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">-</mo>
                <mfrac id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">1</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">2</mn>
                </mfrac>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.21.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.5" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">ln</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.5a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.4" xref="p1.1.m1.1.8.4.cmml">z</mi>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">-</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">z</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
          <mo id="p1.1.m1.1.21.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.13.7.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.13.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml">ln</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.13.7.2a" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.13.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.13.4" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.5" xref="p1.1.m1.1.13.5.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.13.5.1" xref="p1.1.m1.1.13.5.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.13.5.3" xref="p1.1.m1.1.13.5.3.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.13.5.2" xref="p1.1.m1.1.13.5.2.cmml">π</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.13.6" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.3" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">2</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.21.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.2.1.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.21.1.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.2.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">0</mn>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml"></mi>
              </msubsup>
            </mstyle>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.19a" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2.1.1.cmml">arctan</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.19.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.5.1.cmml">t</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.5.2.cmml">/</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.19.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.5.3.cmml">z</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.19.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.19.3.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.19.3.5" xref="p1.1.m1.1.19.3.5.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.1.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.19.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.4.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.2.cmml">π</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.4.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.19.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.19.3.2.1.3.cmml">t</mi>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.19.3.3" xref="p1.1.m1.1.19.3.3.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.19.3.4" xref="p1.1.m1.1.19.3.4.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.21.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.3.2.2.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.20.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">d</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.cmml">t</mi>
              </mrow>
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      </mrow>
    </mrow>
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        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">
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            <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.4.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.5">𝑧</ci>
          </apply>
        </apply>
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          <plus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
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            <minus id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑧</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">
                  <divide id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2">1</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3">2</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.5">
                <ln id="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.4">𝑧</ci>
              </apply>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑧</ci>
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          <apply id="p1.1.m1.1.21.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2">
            <times id="p1.1.m1.1.21.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.1"/>
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