Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.63454.93 on revision:63454

* Page found: Results of Gamma Function (eq math.63454.93)

(force rerendering)

Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

Occurrences on the following pages:

Hash: af847909750cc74f70fee4cc8667544b

TeX (original user input):

\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{k=1}^{4}\EulerGamma@{a_{k}+it}\EulerGamma@{a_{k}-it}}{\EulerGamma@{2it}\EulerGamma@{-2it}}\diff{t} = \frac{\prod_{1\leq j<k\leq 4}\EulerGamma@{a_{j}+a_{k}}}{\EulerGamma@{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}}

TeX (checked):

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.921 KB / 3.218 KB) :

1 4 π - k = 1 4 Γ ( a k + i t ) Γ ( a k - i t ) Γ ( 2 i t ) Γ ( - 2 i t ) d t = 1 j < k 4 Γ ( a j + a k ) Γ ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ) 1 4 𝜋 superscript subscript superscript subscript product 𝑘 1 4 Euler-Gamma subscript 𝑎 𝑘 𝑖 𝑡 Euler-Gamma subscript 𝑎 𝑘 𝑖 𝑡 Euler-Gamma 2 𝑖 𝑡 Euler-Gamma 2 𝑖 𝑡 𝑡 subscript product 1 𝑗 𝑘 4 Euler-Gamma subscript 𝑎 𝑗 subscript 𝑎 𝑘 Euler-Gamma subscript 𝑎 1 subscript 𝑎 2 subscript 𝑎 3 subscript 𝑎 4 {\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{% k=1}^{4}\Gamma\left(a_{k}+it\right)\Gamma\left(a_{k}-it\right)}{\Gamma\left(2% it\right)\Gamma\left(-2it\right)}\mathrm{d}t=\frac{\prod_{1\leq j<k\leq 4}% \Gamma\left(a_{j}+a_{k}\right)}{\Gamma\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{%&#10;k=1}^{4}\Gamma\left(a_{k}+it\right)\Gamma\left(a_{k}-it\right)}{\Gamma\left(2%&#10;it\right)\Gamma\left(-2it\right)}\mathrm{d}t=\frac{\prod_{1\leq j&lt;k\leq 4}%&#10;\Gamma\left(a_{j}+a_{k}\right)}{\Gamma\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">4</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">π</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.9.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">-</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml"></mi>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml"></mi>
            </msubsup>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.9.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.5.2.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.6.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.5.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.1.cmml">4</mn>
                  </msubsup>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.7" xref="p1.1.m1.1.5.2.7.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.4.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.2.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.2.4.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.4.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.4.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.4.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.1.cmml">a</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.2.1.cmml">k</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.3.cmml">+</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.4.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.1.cmml"></mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.5.cmml">t</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.4.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.7.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.5.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.2.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.2.5.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.5.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.1.cmml">a</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.2.1.cmml">k</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.3.cmml">-</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.4.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.1.cmml"></mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.5" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.5.cmml">t</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4a" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3.cmml">t</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.1.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.2.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1a" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.4.cmml">t</mi>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.5.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">d</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.1.cmml">1</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.2.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.3.cmml">j</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.4.cmml">&lt;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.5.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.6.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.7.cmml">4</mn>
              </mrow>
            </msub>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.2.1.1.cmml">Γ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.1.cmml">a</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.2.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.3.cmml">+</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.4.cmml">a</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.5.1.cmml">k</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1.cmml">a</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.1.cmml">1</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml">+</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.4.cmml">a</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.1.cmml">2</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml">+</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.7" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.7.cmml">a</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.8.1.cmml">3</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3b" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml">+</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.10" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.10.cmml">a</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.11.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.11.1.cmml">4</mn>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
        <eq id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">
          <times id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">1</cn>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3">
              <times id="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1">4</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2">𝜋</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.1"/>
                  <infinity id="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.2"/>
                </apply>
              </apply>
              <infinity id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1"/>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.9.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">
                <divide id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.5.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.6">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.6">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.5.2.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.6">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.2.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.6">subscript</csymbol>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1">product</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1">
                        <eq id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.3.1">4</cn>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.5.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.7">
                    <times id="p1.1.m1.1.5.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.7.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.5.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.7.2">
                      <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.5.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5">
                        <plus id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.6">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.1">𝑎</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.2.1">𝑘</ci>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7">
                          <times id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.7.1"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.4">𝑖</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.4.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.4.5.5">𝑡</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.5.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.7.2">
                      <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.5.2.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5">
                        <minus id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.6">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.1">𝑎</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.2.1">𝑘</ci>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7">
                          <times id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.7.1"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.4">𝑖</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.5.2.5.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.5.5.5">𝑡</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.5.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.7.2">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.5.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5">
                      <times id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.4"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.1">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.2">𝑖</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.5.3">𝑡</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.5.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.7.2">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.5.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5">
                      <minus id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.5.1"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.2">2</cn>
                        <ci id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.3">𝑖</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.5.3.2.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.5.4">𝑡</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2">
                <diff id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2.2">𝑡</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">
          <divide id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.4">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.4">subscript</csymbol>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1">product</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1">
                <and id="p1.1.m1.1.8.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1">
                  <leq id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.1">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.3">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1">
                  <lt id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.4"/>
                  <share href="#p1.1.m1.1.8.2.2.1.3.cmml" id="p1.1.m1.1.8.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.5">𝑘</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.2.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1">
                  <leq id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.6"/>
                  <share href="#p1.1.m1.1.8.2.2.1.5.cmml" id="p1.1.m1.1.8.2.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.1.7">4</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.8.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.7.2">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5">
                <plus id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.6">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.1">𝑎</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.2.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.7">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.4">𝑎</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.5.5.1">𝑘</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2">
            <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5">
              <plus id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.12">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1">𝑎</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.1">1</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.13">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.4">𝑎</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.14">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.7">𝑎</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.8.1">3</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.15">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.10">𝑎</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.11.1">4</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{%
k=1}^{4}\Gamma\left(a_{k}+it\right)\Gamma\left(a_{k}-it\right)}{\Gamma\left(2%
it\right)\Gamma\left(-2it\right)}\mathrm{d}t=\frac{\prod_{1\leq j&lt;k\leq 4}%
\Gamma\left(a_{j}+a_{k}\right)}{\Gamma\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (24.972 KB / 6.445 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\prod_{% k=1}^{4}\Gamma\left(a_{k}+it\right)\Gamma\left(a_{k}-it\right)}{\Gamma\left(2% it\right)\Gamma\left(-2it\right)}\mathrm{d}t=\frac{\prod_{1\leq j<k\leq 4}% \Gamma\left(a_{j}+a_{k}\right)}{\Gamma\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[d24490e3d81cc7b4f9202fc1] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63454&eid=math.63454.93 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Results of Gamma Function page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results