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Display information for equation id:math.63456.39 on revision:63456

* Page found: Results of Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals (eq math.63456.39)

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\erfc@@{z} = \frac{2}{\pi}e^{-z^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-z^{2}t^{2}}}{t^{2}+1}\diff{t}

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erfc z = 2 π e - z 2 0 e - z 2 t 2 t 2 + 1 d t complementary-error-function 𝑧 2 𝜋 superscript 𝑒 superscript 𝑧 2 superscript subscript 0 superscript 𝑒 superscript 𝑧 2 superscript 𝑡 2 superscript 𝑡 2 1 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\operatorname{erfc}z=\frac{2}{\pi}e^{-z^{2}}\int_{% 0}^{\infty}\frac{e^{-z^{2}t^{2}}}{t^{2}+1}\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\operatorname{erfc}z=\frac{2}{\pi}e^{-z^{2}}\int_{%&#10;0}^{\infty}\frac{e^{-z^{2}t^{2}}}{t^{2}+1}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">erfc</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.cmml">z</mi>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">2</mn>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">π</mi>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml"></mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">e</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">-</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.1.4.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">z</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mrow>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.11.1.3.1a" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">0</mn>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml"></mi>
            </msubsup>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2.cmml">z</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.3.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.1.cmml"></mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.4.cmml">t</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.5.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </msup>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.9.3.5" xref="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">t</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.9.3.4" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.10.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">d</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.cmml">t</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        <eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
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          <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5">complementary-error-function</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4">𝑧</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
          <times id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1"/>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">2</cn>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">𝜋</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑒</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2">𝑧</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.1">2</cn>
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          </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">0</cn>
              </apply>
              <infinity id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1"/>
            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.11.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.2.1"/>
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                <divide id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6">
                      <times id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.2">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2">𝑧</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.3.1">2</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.6.3">
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.5.1">2</cn>
                      </apply>
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                  <plus id="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.5">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.9.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.5">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">𝑡</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1">2</cn>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4">1</cn>
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              <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">
                <diff id="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2">𝑡</ci>
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    </annotation-xml>
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0}^{\infty}\frac{e^{-z^{2}t^{2}}}{t^{2}+1}\mathrm{d}t}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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{\displaystyle{\displaystyle\operatorname{erfc}z=\frac{2}{\pi}e^{-z^{2}}\int_{% 0}^{\infty}\frac{e^{-z^{2}t^{2}}}{t^{2}+1}\mathrm{d}t}}

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