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\BesselJ{\nu}@{z} = \frac{\EulerGamma@{\frac{1}{2}-\nu}(\frac{1}{2}z)^{\nu}}{\pi^{\frac{3}{2}}i}\int_{0}^{(1+)}\cos@{zt}(t^{2}-1)^{\nu-\frac{1}{2}}\diff{t}

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J ν ( z ) = Γ ( 1 2 - ν ) ( 1 2 z ) ν π 3 2 i 0 ( 1 + ) cos ( z t ) ( t 2 - 1 ) ν - 1 2 d t Bessel-J 𝜈 𝑧 Euler-Gamma 1 2 𝜈 superscript 1 2 𝑧 𝜈 superscript 𝜋 3 2 𝑖 superscript subscript 0 limit-from 1 𝑧 𝑡 superscript superscript 𝑡 2 1 𝜈 1 2 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle J_{\nu}\left(z\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{% 2}-\nu\right)(\frac{1}{2}z)^{\nu}}{\pi^{\frac{3}{2}}i}\int_{0}^{(1+)}\cos\left% (zt\right)(t^{2}-1)^{\nu-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle J_{\nu}\left(z\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{%&#10;2}-\nu\right)(\frac{1}{2}z)^{\nu}}{\pi^{\frac{3}{2}}i}\int_{0}^{(1+)}\cos\left%&#10;(zt\right)(t^{2}-1)^{\nu-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">J</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml">ν</mi>
        </msub>
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          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">z</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.1.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.5.2.cmml">-</mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">
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                    <mfrac id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.3.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml">z</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.6.1.cmml">ν</mi>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">π</mi>
                <mfrac id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.2.cmml">3</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.3.cmml">2</mn>
                </mfrac>
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            </mrow>
          </mfrac>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.16.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.16.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
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              </mrow>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.16.1.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.2.2.2.2.2.1.cmml">
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                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">-</mo>
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                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.16.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">ν</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">-</mo>
                <mfrac id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.14.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.2.cmml">1</mn>
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                </mfrac>
              </mrow>
            </msup>
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            </mrow>
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