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Display information for equation id:math.63459.67 on revision:63459

* Page found: Results of Bessel Functions (eq math.63459.67)

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\BesselJ{\mu}@{x}\BesselJ{\nu}@{x} = \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\EulerGamma@{-t}\EulerGamma@{2t+\mu+\nu+1}(\tfrac{1}{2}x)^{\mu+\nu+2t}}{\EulerGamma@{t+\mu+1}\EulerGamma@{t+\nu+1}\EulerGamma@{t+\mu+\nu+1}}\diff{t}

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J μ ( x ) J ν ( x ) = 1 2 π i - i i Γ ( - t ) Γ ( 2 t + μ + ν + 1 ) ( 1 2 x ) μ + ν + 2 t Γ ( t + μ + 1 ) Γ ( t + ν + 1 ) Γ ( t + μ + ν + 1 ) d t Bessel-J 𝜇 𝑥 Bessel-J 𝜈 𝑥 1 2 𝜋 𝑖 superscript subscript 𝑖 𝑖 Euler-Gamma 𝑡 Euler-Gamma 2 𝑡 𝜇 𝜈 1 superscript 1 2 𝑥 𝜇 𝜈 2 𝑡 Euler-Gamma 𝑡 𝜇 1 Euler-Gamma 𝑡 𝜈 1 Euler-Gamma 𝑡 𝜇 𝜈 1 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle J_{\mu}\left(x\right)J_{\nu}\left(x\right)=\frac{% 1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(-t\right)\Gamma\left(2t+% \mu+\nu+1\right)(\tfrac{1}{2}x)^{\mu+\nu+2t}}{\Gamma\left(t+\mu+1\right)\Gamma% \left(t+\nu+1\right)\Gamma\left(t+\mu+\nu+1\right)}\mathrm{d}t}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle J_{\mu}\left(x\right)J_{\nu}\left(x\right)=\frac{%&#10;1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(-t\right)\Gamma\left(2t+%&#10;\mu+\nu+1\right)(\tfrac{1}{2}x)^{\mu+\nu+2t}}{\Gamma\left(t+\mu+1\right)\Gamma%&#10;\left(t+\nu+1\right)\Gamma\left(t+\mu+\nu+1\right)}\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">J</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml">μ</mi>
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          <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">x</mi>
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          <msub id="p1.1.m1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.1.1.cmml">J</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml">ν</mi>
          </msub>
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            <mi id="p1.1.m1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.2.5.cmml">x</mi>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
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          </mfrac>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.6.1.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.4.1.cmml"></mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
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                          <mn id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.1.cmml">2</mn>
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                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.4.cmml">μ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3a" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.6.cmml">ν</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3b" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.3.cmml">+</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.8" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.8.cmml">1</mn>
                      </mrow>
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                    </mrow>
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                        <mfrac id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.8.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.2.cmml">1</mn>
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                        </mfrac>
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                  </msup>
                </mrow>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1.cmml">t</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml">μ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.cmml">+</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.8.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.4.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1.cmml">t</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3.cmml">ν</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2.cmml">+</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5.cmml">1</mn>
                      </mrow>
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                    </mrow>
                  </mrow>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.3.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.8.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.1.cmml">t</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.3.cmml">μ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2a" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2.cmml">+</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.5.cmml">ν</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2b" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2.cmml">+</mo>
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                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3.6" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml">)</mo>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1">𝜇</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">𝑥</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.3.1">𝜈</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.5">𝑥</ci>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">1</cn>
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              <times id="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.4"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1">2</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2">𝜋</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3">𝑖</ci>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.10.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2">𝑖</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1">𝑖</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.2">𝑡</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.4">𝜇</ci>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.2.5.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.5.8">1</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.9">superscript</csymbol>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.2">1</cn>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.4.3">2</cn>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.5">𝑥</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.1">𝜇</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.3">𝜈</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.7">
                        <times id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.7.1"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.5">2</cn>
                        <ci id="p1.1.m1.1.8.2.7.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.7.1.6">𝑡</ci>
                      </apply>
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                  </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.8.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.4"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.7.2">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5">
                      <plus id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.1">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.3">𝜇</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.5.5">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.8.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.7.2">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5">
                      <plus id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.1">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.3">𝜈</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.5.5">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.8.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.7.2">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.2.1.2">Euler-Gamma</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5">
                      <plus id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.1">𝑡</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.3">𝜇</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.5">𝜈</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.3.3.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.5.7">1</cn>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">
                <diff id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2">𝑡</ci>
              </apply>
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          </apply>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle J_{\mu}\left(x\right)J_{\nu}\left(x\right)=\frac{%
1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(-t\right)\Gamma\left(2t+%
\mu+\nu+1\right)(\tfrac{1}{2}x)^{\mu+\nu+2t}}{\Gamma\left(t+\mu+1\right)\Gamma%
\left(t+\nu+1\right)\Gamma\left(t+\mu+\nu+1\right)}\mathrm{d}t}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (23.083 KB / 5.663 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle J_{\mu}\left(x\right)J_{\nu}\left(x\right)=\frac{% 1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma\left(-t\right)\Gamma\left(2t+% \mu+\nu+1\right)(\tfrac{1}{2}x)^{\mu+\nu+2t}}{\Gamma\left(t+\mu+1\right)\Gamma% \left(t+\nu+1\right)\Gamma\left(t+\mu+\nu+1\right)}\mathrm{d}t}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[1d0b662c142bc7f0ec30d8df] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63459&eid=math.63459.67 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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