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* Page found: Results of Confluent Hypergeometric Functions (eq math.63462.64)

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\KummerconfhyperU@{a}{b}{z} = \frac{2z^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b}}{\EulerGamma@{a}\EulerGamma@{a-b+1}}\*\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}}\modBesselK{b-1}@{2\sqrt{zt}}\diff{t}

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MathML (18.584 KB / 2.533 KB) :

U ⁡ ( a , b , z ) = 2 ⁢ z 1 2 - 1 2 ⁢ b Γ ⁡ ( a ) ⁢ Γ ⁡ ( a - b + 1 ) ⁢ ∫ 0 ∞ e - t ⁢ t a - 1 2 ⁢ b - 1 2 ⁢ K b - 1 ⁡ ( 2 ⁢ z ⁢ t ) ⁢ d t Kummer-confluent-hypergeometric-U 𝑎 𝑏 𝑧 2 superscript 𝑧 1 2 1 2 𝑏 Euler-Gamma 𝑎 Euler-Gamma 𝑎 𝑏 1 superscript subscript 0 superscript 𝑒 𝑡 superscript 𝑡 𝑎 1 2 𝑏 1 2 modified-Bessel-second-kind 𝑏 1 2 𝑧 𝑡 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle U\left(a,b,z\right)=\frac{2z^{\frac{1}{2}-\frac{1% }{2}b}}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(a-b+1\right)}\*\int_{0}^{\infty}e^{-t}% t^{a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}}K_{b-1}\left(2\sqrt{zt}\right)\mathrm{d}t}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle U\left(a,b,z\right)=\frac{2z^{\frac{1}{2}-\frac{1%&#10;}{2}b}}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(a-b+1\right)}\*\int_{0}^{\infty}e^{-t}%&#10;t^{a-\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}}K_{b-1}\left(2\sqrt{zt}\right)\mathrm{d}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">U</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.11.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">,</mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.9.cmml">z</mi>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">z</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.1.1.cmml">
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                    </mfrac>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.1.5.1.cmml">⁢</mo>
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                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.1.cmml">⁡</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.5.cmml">a</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.7.2a" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">⁡</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.1.cmml">a</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.3.cmml">b</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.5.4.cmml">+</mo>
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          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">⁢</mo>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.14.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∫</mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.14.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.14.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.2.2.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">t</mi>
              </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">a</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">-</mo>
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                  <mfrac id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">
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                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2a" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">-</mo>
                <mfrac id="p1.1.m1.1.11.1.6" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.11.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.2.cmml">1</mn>
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                </mfrac>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <msub id="p1.1.m1.1.12.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.1.cmml">b</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3.1.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.7.2a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.2.1.cmml">z</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.5.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.2.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.5.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.2.2.cmml">t</mi>
                    </mrow>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.6" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1b" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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