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\FerrersQ[\mu]{\nu}@{0} = -\frac{2^{\mu-1}\pi^{1/2}\sin@{\frac{1}{2}(\nu+\mu)\pi}\EulerGamma@{\frac{1}{2}\nu+\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}}}{\EulerGamma@{\frac{1}{2}\nu-\frac{1}{2}\mu+1}}

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MathML (17.59 KB / 2.261 KB) :

𝖰 ν μ ( 0 ) = - 2 μ - 1 π 1 / 2 sin ( 1 2 ( ν + μ ) π ) Γ ( 1 2 ν + 1 2 μ + 1 2 ) Γ ( 1 2 ν - 1 2 μ + 1 ) Ferrers-Legendre-Q-first-kind 𝜇 𝜈 0 superscript 2 𝜇 1 superscript 𝜋 1 2 1 2 𝜈 𝜇 𝜋 Euler-Gamma 1 2 𝜈 1 2 𝜇 1 2 Euler-Gamma 1 2 𝜈 1 2 𝜇 1 {\displaystyle{\displaystyle\mathsf{Q}^{\mu}_{\nu}\left(0\right)=-\frac{2^{\mu% -1}\pi^{1/2}\sin\left(\frac{1}{2}(\nu+\mu)\pi\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\nu% +\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\nu-\frac{1}{2}\mu+% 1\right)}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\mathsf{Q}^{\mu}_{\nu}\left(0\right)=-\frac{2^{\mu%&#10;-1}\pi^{1/2}\sin\left(\frac{1}{2}(\nu+\mu)\pi\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\nu%&#10;+\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\nu-\frac{1}{2}\mu+%&#10;1\right)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <msubsup id="p1.1.m1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">𝖰</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.4.1.cmml">ν</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.3.1.cmml">μ</mi>
        </msubsup>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">0</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
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        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">-</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml">2</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1.cmml">μ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.9.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">π</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1.2.cmml">/</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.2.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.1.3.cmml">2</mn>
                </mrow>
              </msup>
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                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.2.1.1.cmml">sin</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5.7.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.5.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.5.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.1.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.8.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.3.cmml">ν</mi>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.5.cmml">μ</mi>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.9.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.8a" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.8.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5.5.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.5.7.cmml">π</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.5.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.6.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.6.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.1.cmml">(</mo>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.4.2.6.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.5.1.2.cmml">1</mn>
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                    </mrow>
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                      <mfrac id="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4.2.cmml">1</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.5.4.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.6.5.9.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.6.5.9.1.cmml"></mo>
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                    </mrow>
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            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.8.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.8.1.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.1.cmml">
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                      </mfrac>
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                    </mrow>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.4.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.8.2.1.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.5.cmml">μ</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.6.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.7" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.7.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
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