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\frac{\sin@{\pi(c-a-b)}}{\pi}\hyperOlverF@@{a}{b}{c}{z} = \frac{1}{\EulerGamma@{c-a}\EulerGamma@{c-b}}\hyperOlverF@@{a}{b}{a+b-c+1}{1-z}-\frac{(1-z)^{c-a-b}}{\EulerGamma@{a}\EulerGamma@{b}}\hyperOlverF@@{c-a}{c-b}{c-a-b+1}{1-z}

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sin ⁡ ( π ⁢ ( c - a - b ) ) π ⁢ 𝐅 ⁡ ( a , b c ; z ) = 1 Γ ⁡ ( c - a ) ⁢ Γ ⁡ ( c - b ) ⁢ 𝐅 ⁡ ( a , b a + b - c + 1 ; 1 - z ) - ( 1 - z ) c - a - b Γ ⁡ ( a ) ⁢ Γ ⁡ ( b ) ⁢ 𝐅 ⁡ ( c - a , c - b c - a - b + 1 ; 1 - z ) 𝜋 𝑐 𝑎 𝑏 𝜋 scaled-hypergeometric-bold-F 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 1 Euler-Gamma 𝑐 𝑎 Euler-Gamma 𝑐 𝑏 scaled-hypergeometric-bold-F 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 1 1 𝑧 superscript 1 𝑧 𝑐 𝑎 𝑏 Euler-Gamma 𝑎 Euler-Gamma 𝑏 scaled-hypergeometric-bold-F 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 1 1 𝑧 {\displaystyle{\displaystyle\frac{\sin\left(\pi(c-a-b)\right)}{\pi}\mathbf{F}% \left({a,b\atop c};z\right)=\frac{1}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b% \right)}\mathbf{F}\left({a,b\atop a+b-c+1};1-z\right)-\frac{(1-z)^{c-a-b}}{% \Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)}\mathbf{F}\left({c-a,c-b\atop c-a-b+1% };1-z\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{\sin\left(\pi(c-a-b)\right)}{\pi}\mathbf{F}%&#10;\left({a,b\atop c};z\right)=\frac{1}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b%&#10;\right)}\mathbf{F}\left({a,b\atop a+b-c+1};1-z\right)-\frac{(1-z)^{c-a-b}}{%&#10;\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)}\mathbf{F}\left({c-a,c-b\atop c-a-b+1%&#10;};1-z\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">sin</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">⁡</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.1.cmml">π</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.9.cmml">⁢</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.10.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.10.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.3.cmml">c</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.4.cmml">-</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.4.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.5.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.5.7.cmml">b</mi>
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          </mfrac>
        </mstyle>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">𝐅</mi>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
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              <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.2.5a" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.5.2.1.cmml">a</mi>
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                </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">1</mn>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.1.cmml">⁡</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.5.1.cmml">c</mi>
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                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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            </mrow>
          </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.7.2.3" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.cmml">-</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.2.4" xref="p1.1.m1.1.7.2.4.cmml">z</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.2.5" xref="p1.1.m1.1.7.2.8.2.cmml">)</mo>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.2.1.1.cmml">Γ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.1.cmml">(</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">⁢</mo>
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                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.2.1.1.cmml">Γ</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">(</mo>
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