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Display information for equation id:math.63465.1 on revision:63465

* Page found: Results of q-Hypergeometric and Related Functions (eq math.63465.1)

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\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}(-z)^{j} = (1-z)^{n}

TeX (checked):

\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-z)^{j}=(1-z)^{n}

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MathML (6.093 KB / 1.12 KB) :

j = 0 n ( n j ) ( - z ) j = ( 1 - z ) n superscript subscript 𝑗 0 𝑛 binomial 𝑛 𝑗 superscript 𝑧 𝑗 superscript 1 𝑧 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{j}(-z)^{j% }=(1-z)^{n}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{j}(-z)^{j%&#10;}=(1-z)^{n}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.17.1.1a" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">j</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">(</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
              <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.4.2.3a" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.2.cmml">n</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.3.cmml">j</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.17.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.1.cmml"></mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.17.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.17.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">z</mi>
              </mrow>
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            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">j</mi>
          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">=</mo>
      <msup id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.17.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.2.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">-</mo>
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          </mrow>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mi id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">n</mi>
      </msup>
    </mrow>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.1">superscript</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑗</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑛</ci>
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            <minus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">1</cn>
            <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑧</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{j}(-z)^{j%
}=(1-z)^{n}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (8.997 KB / 3.12 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{j}(-z)^{j% }=(1-z)^{n}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.644 KB / 493 B) :

j = 0 n ( n j ) ( z ) j = ( 1 z ) n {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-z)^{j}=(1-z)^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-z)^{j}=(1-z)^{n}}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
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              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
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        </msup>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-z)^{j}=(1-z)^{n}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (6.691 KB / 2.813 KB) :

{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-z)^{j}=(1-z)^{n}}

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