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\sum_{\ell=0}^{n}\frac{\Pochhammersym{\alpha+\ell+1}{n-\ell}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell} = \frac{\Pochhammersym{\alpha+1}{n}}{n!}\genhyperF{1}{1}@@{-n}{\alpha+1}{x}


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${\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(\alpha+\ell+1\right)% _{n-\ell}}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!% }{{}_{1}F_{1}}\left({-n\atop\alpha+1};x\right)}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(\alpha+\ell+1\right)%&#10;_{n-\ell}}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!%&#10;}{{}_{1}F_{1}}\left({-n\atop\alpha+1};x\right)}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.13.1.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">ℓ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
</munderover>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
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<msub id="p1.1.m1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.cmml">α</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3.cmml">ℓ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5.cmml">1</mn>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">)</mo>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.2.cmml">-</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3.cmml">ℓ</mi>
</mrow>
</msub>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">-</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">ℓ</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.4.3.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml">!</mo>
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</mrow>
</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.13.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
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</mrow>
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<mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.5.1.cmml">n</mi>
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<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml">!</mo>
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<mn id="p1.1.m1.1.12.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml">1</mn>
<none id="p1.1.m1.1.12.2.1.5c" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"/>
</mmultiscripts>
<mo id="p1.1.m1.1.12.9.2a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">⁡</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.12.5a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1.1">subscript</csymbol>
<sum id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
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<ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">ℓ</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3">ℓ</ci>
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<minus id="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3"/>
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<ci id="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.9.2">
<csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.3">Kummer-confluent-hypergeometric-M-as-1F1</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.12.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.2">
<minus id="p1.1.m1.1.12.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.12.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.1.2">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.3">
<plus id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.1">𝛼</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.3">1</cn>
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