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\sum_{\ell=0}^{n}\frac{\Pochhammersym{\alpha+\ell+1}{n-\ell}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell} = \frac{\Pochhammersym{\alpha+1}{n}}{n!}\genhyperF{1}{1}@@{-n}{\alpha+1}{x}

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MathML (14.516 KB / 2.174 KB) :

∑ ℓ = 0 n ( α + ℓ + 1 ) n - ℓ ( n - ℓ ) ! ⁢ ℓ ! ⁢ ( - x ) ℓ = ( α + 1 ) n n ! ⁢ F 1 1 ⁡ ( - n α + 1 ; x ) superscript subscript ℓ 0 𝑛 Pochhammer 𝛼 ℓ 1 𝑛 ℓ 𝑛 ℓ ℓ superscript 𝑥 ℓ Pochhammer 𝛼 1 𝑛 𝑛 Kummer-confluent-hypergeometric-M-as-1F1 𝑛 𝛼 1 𝑥 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(\alpha+\ell+1\right)% _{n-\ell}}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!% }{{}_{1}F_{1}}\left({-n\atop\alpha+1};x\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(\alpha+\ell+1\right)%&#10;_{n-\ell}}}{(n-\ell)!\;\ell!}(-x)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!%&#10;}{{}_{1}F_{1}}\left({-n\atop\alpha+1};x\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.13.1.1a" xref="p1.1.m1.1.13.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">ℓ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3.cmml">ℓ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.2.cmml">-</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.1.3.cmml">ℓ</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.11" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.11.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.cmml">-</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.4.cmml">ℓ</mi>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.1.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.4.3.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml">!</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.3.10" xref="p1.1.m1.1.4.3.10.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.12" xref="p1.1.m1.1.4.3.12.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.8" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.cmml">ℓ</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.4.3.9" xref="p1.1.m1.1.4.3.9.cmml">!</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.13.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">x</mi>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.13.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">ℓ</mi>
          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.3.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml">n</mi>
              <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml">!</mo>
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          <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.12.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.12.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml">F</mi>
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            <none id="p1.1.m1.1.12.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"/>
            <mprescripts id="p1.1.m1.1.12.2.1.5b" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"/>
            <mn id="p1.1.m1.1.12.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml">1</mn>
            <none id="p1.1.m1.1.12.2.1.5c" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml"/>
          </mmultiscripts>
          <mo id="p1.1.m1.1.12.9.2a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.12.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.12.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">(</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
              <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.12.5a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.5.2" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.1.1.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.5.2.1.2.cmml">n</mi>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.5.3" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.1.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.12.5.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.5.3.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.12.6" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">;</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12.7" xref="p1.1.m1.1.12.7.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.12.8" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">)</mo>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">ℓ</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">0</cn>
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