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Display information for equation id:math.63467.9 on revision:63467

* Page found: Results of Orthogonal Polynomials (eq math.63467.9)

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\sum_{\ell=0}^{n}\frac{\Pochhammersym{n+\alpha+\beta+1}{\ell}\Pochhammersym{\alpha+\ell+1}{n-\ell}}{\ell!\;(n-\ell)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{\ell} = \frac{\Pochhammersym{\alpha+1}{n}}{n!}\genhyperF{2}{1}@@{-n,n+\alpha+\beta+1}{\alpha+1}{\frac{1-x}{2}}

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= 0 n ( n + α + β + 1 ) ( α + + 1 ) n - ! ( n - ) ! ( x - 1 2 ) = ( α + 1 ) n n ! F 1 2 ( - n , n + α + β + 1 α + 1 ; 1 - x 2 ) superscript subscript 0 𝑛 Pochhammer 𝑛 𝛼 𝛽 1 Pochhammer 𝛼 1 𝑛 𝑛 superscript 𝑥 1 2 Pochhammer 𝛼 1 𝑛 𝑛 Gauss-hypergeometric-F-as-2F1 𝑛 𝑛 𝛼 𝛽 1 𝛼 1 1 𝑥 2 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(n+\alpha+\beta+1% \right)_{\ell}}{\left(\alpha+\ell+1\right)_{n-\ell}}}{\ell!\;(n-\ell)!}\left(% \frac{x-1}{2}\right)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!}{{}_{2}F_{1}% }\left({-n,n+\alpha+\beta+1\atop\alpha+1};\frac{1-x}{2}\right)}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n}\frac{{\left(n+\alpha+\beta+1%&#10;\right)_{\ell}}{\left(\alpha+\ell+1\right)_{n-\ell}}}{\ell!\;(n-\ell)!}\left(%&#10;\frac{x-1}{2}\right)^{\ell}=\frac{{\left(\alpha+1\right)_{n}}}{n!}{{}_{2}F_{1}%&#10;}\left({-n,n+\alpha+\beta+1\atop\alpha+1};\frac{1-x}{2}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
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              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.1.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2b" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.7.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.5.1.cmml"></mi>
                </msub>
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                <msub id="p1.1.m1.1.4.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.1.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2.cmml">+</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.3.cmml"></mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.2.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.5.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.5.1.1.2.cmml">-</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.4.3.11" xref="p1.1.m1.1.4.3.11.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml"></mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
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            </mfrac>
          </mstyle>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">2</mn>
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            </mrow>
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          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.10.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.cmml">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.10.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.10.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.3.1.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.3.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.10.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.3.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.10.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.5.1.cmml">n</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml">n</mi>
              <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.2.cmml">!</mo>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml"></mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml">F</mi>
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            <mprescripts id="p1.1.m1.1.11.2.1.5b" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml"/>
            <mn id="p1.1.m1.1.11.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml">2</mn>
            <none id="p1.1.m1.1.11.2.1.5c" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml"/>
          </mmultiscripts>
          <mo id="p1.1.m1.1.11.9.2a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.11.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">(</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.11.5a" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.11.5.2" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.11.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.1.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.4.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.6.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.8.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5b" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.5.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.10.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.11.5.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.5.3.1.1.cmml">α</mi>
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                </mrow>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑛</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.6">
                  <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.2">Pochhammer</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.3">𝛼</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.5">𝛽</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.1.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.3.7">1</cn>
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                  <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.2">Pochhammer</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.3"></ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.2.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.3.5">1</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.4.3.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.12.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.4.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.6"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.5">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.7"></ci>
                  </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2">superscript</csymbol>
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              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.10.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.2">Pochhammer</csymbol>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2.1.3.3">1</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1">𝑛</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.11.5.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.5.2.1.6">𝛼</ci>
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