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Display information for equation id:math.63472.18 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.18)

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\sum_{k=0}^{m-1}(a+dk)^{n} = {\frac{d^{n}}{n+1}\left(\BernoullipolyB{n+1}@{m+\frac{a}{d}}-\BernoullipolyB{n+1}@{\frac{a}{d}}\right)}

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k = 0 m - 1 ( a + d k ) n = d n n + 1 ( B n + 1 ( m + a d ) - B n + 1 ( a d ) ) superscript subscript 𝑘 0 𝑚 1 superscript 𝑎 𝑑 𝑘 𝑛 superscript 𝑑 𝑛 𝑛 1 Bernoulli-polynomial-B 𝑛 1 𝑚 𝑎 𝑑 Bernoulli-polynomial-B 𝑛 1 𝑎 𝑑 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{n+1}\left% (B_{n+1}\left(m+\frac{a}{d}\right)-B_{n+1}\left(\frac{a}{d}\right)\right)}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{n+1}\left%&#10;(B_{n+1}\left(m+\frac{a}{d}\right)-B_{n+1}\left(\frac{a}{d}\right)\right)}}}" display="inline">
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      <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">m</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </munderover>
        </mstyle>
        <msup id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
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              </mrow>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
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        </msup>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.14.7.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.14.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.14.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.1.cmml">B</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.3.1.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.14.4" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">(</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.14.5.1" xref="p1.1.m1.1.14.5.1.cmml">m</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.5.2" xref="p1.1.m1.1.14.5.2.cmml">+</mo>
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              </mrow>
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              <sum id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑘</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1.1">𝑚</ci>
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        </apply>
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