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Display information for equation id:math.63472.19 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.19)

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Hash: cec57aaee8ca761fb4520158653335c9

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\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}(a+dk)^{n} = {\frac{d^{n}}{2}\left((-1)^{m-1}\EulerpolyE{n}@{m+\frac{a}{d}}+\EulerpolyE{n}@{\frac{a}{d}}\right)}

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MathML (14.691 KB / 2.049 KB) :

k = 0 m - 1 ( - 1 ) k ( a + d k ) n = d n 2 ( ( - 1 ) m - 1 E n ( m + a d ) + E n ( a d ) ) superscript subscript 𝑘 0 𝑚 1 superscript 1 𝑘 superscript 𝑎 𝑑 𝑘 𝑛 superscript 𝑑 𝑛 2 superscript 1 𝑚 1 Euler-polynomial-E 𝑛 𝑚 𝑎 𝑑 Euler-polynomial-E 𝑛 𝑎 𝑑 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{2% }\left((-1)^{m-1}E_{n}\left(m+\frac{a}{d}\right)+E_{n}\left(\frac{a}{d}\right)% \right)}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{2%&#10;}\left((-1)^{m-1}E_{n}\left(m+\frac{a}{d}\right)+E_{n}\left(\frac{a}{d}\right)%&#10;\right)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.28.1.1a" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.1.cmml">m</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.1.2.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.28.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">k</mi>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.28.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.cmml"></mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.28.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">a</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">d</mi>
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                </mrow>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">n</mi>
          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
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            <msup id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml">d</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.17.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml">n</mi>
            </msup>
            <mn id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml"></mo>
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          <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.cmml">(</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.24.5.1" xref="p1.1.m1.1.24.5.1.cmml">m</mi>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">1</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">𝑘</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2">
                <plus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑎</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.3.2.2.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑑</ci>
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                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
          <times id="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.17.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1">𝑑</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1">𝑛</ci>
            </apply>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3">2</cn>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2">
            <plus id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1">
              <times id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.2.1.2.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.23.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1.1">𝑚</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.23.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1.3">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.7.2">
                <apply id="p1.1.m1.1.24.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.4">
                  <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.24.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.2">Euler-polynomial-E</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.1.3.1">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5">
                  <plus id="p1.1.m1.1.24.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.1">𝑚</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.24.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.3">
                    <divide id="p1.1.m1.1.24.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.3.2">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.5.3.3">𝑑</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.7.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.4">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.26.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.2">Euler-polynomial-E</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.3.1">𝑛</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.26.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.5">
                <divide id="p1.1.m1.1.26.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.5.1.2">𝑎</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.5.1.3">𝑑</ci>
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      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{2%
}\left((-1)^{m-1}E_{n}\left(m+\frac{a}{d}\right)+E_{n}\left(\frac{a}{d}\right)%
\right)}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (17.597 KB / 4.896 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}(a+dk)^{n}={\frac{d^{n}}{2% }\left((-1)^{m-1}E_{n}\left(m+\frac{a}{d}\right)+E_{n}\left(\frac{a}{d}\right)% \right)}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[d87c8216d31773b6585886b6] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63472&eid=math.63472.19 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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