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Display information for equation id:math.63472.63 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.63)

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\BernoullinumberB{2n} = \frac{(-1)^{n+1}4n}{2^{2n}-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{2n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k+n}}

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B 2 ⁢ n = ( - 1 ) n + 1 ⁢ 4 ⁢ n 2 2 ⁢ n - 1 ⁢ ∑ k = 1 ∞ k 2 ⁢ n - 1 e π ⁢ k + ( - 1 ) k + n Bernoulli-number-B 2 𝑛 superscript 1 𝑛 1 4 𝑛 superscript 2 2 𝑛 1 superscript subscript 𝑘 1 superscript 𝑘 2 𝑛 1 superscript 𝑒 𝜋 𝑘 superscript 1 𝑘 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle B_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}4n}{2^{2n}-1}\sum_{k=1}^{% \infty}\frac{k^{2n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k+n}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle B_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}4n}{2^{2n}-1}\sum_{k=1}^{%&#10;\infty}\frac{k^{2n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k+n}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.1.cmml">2</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.3.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.2.cmml">n</mi>
        </mrow>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">⁢</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml">4</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.8a" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.cmml">n</mi>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.3.3.5.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">2</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.cmml">n</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.8.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">∞</mi>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">k</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2.cmml">n</mi>
                  </mrow>
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              </msup>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">e</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.3.cmml">⁢</mo>
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                </msup>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.7.3.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">-</mo>
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                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.3.7" xref="p1.1.m1.1.7.3.10.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.1.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.2.cmml">+</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.3.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </msup>
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            </mfrac>
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    </mrow>
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        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4">
          <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
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            <times id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.3"/>
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          </apply>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.1.2">𝑛</ci>
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              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.4">1</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.8.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.8.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
                  <eq id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑘</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <infinity id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1"/>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
              <divide id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.1">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5">
                    <times id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.5.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.1">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.2">𝑛</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.4">1</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">
                <plus id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.9">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.9">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.1">𝜋</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.2">𝑘</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.10">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.3.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.10">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.7.3.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.10.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.5"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.6">1</cn>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1">
                    <plus id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.1">𝑘</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.3">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle B_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}4n}{2^{2n}-1}\sum_{k=1}^{%
\infty}\frac{k^{2n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k+n}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (14.87 KB / 4.381 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle B_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}4n}{2^{2n}-1}\sum_{k=1}^{% \infty}\frac{k^{2n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k+n}}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[d16d202812bf1605a5ef98b7] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63472&eid=math.63472.63 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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