Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.63472.78 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.78)

(force rerendering)

Cannot find the equation data in the database. Fetching from revision text.

Occurrences on the following pages:

Hash: 3be4593b90cc6563f228591fca608b1e

TeX (original user input):

\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{\beta-2n}} >= (-1)^{n+1}\BernoullinumberB{2n}\geq\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{-2n}}

TeX (checked):

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (18.463 KB / 2.328 KB) :

2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n 1 1 - 2 β - 2 n ( - 1 ) n + 1 B 2 n 2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n 1 1 - 2 - 2 n 2 2 𝑛 superscript 2 𝜋 2 𝑛 1 1 superscript 2 𝛽 2 𝑛 superscript 1 𝑛 1 Bernoulli-number-B 2 𝑛 2 2 𝑛 superscript 2 𝜋 2 𝑛 1 1 superscript 2 2 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{\beta-2n}}% >=(-1)^{n+1}B_{2n}\geq\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{-2n}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{\beta-2n}}%&#10;&gt;=(-1)^{n+1}B_{2n}\geq\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{-2n}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.7.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.4.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.6.cmml">!</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.1.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">π</mi>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.3.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.2.cmml">n</mi>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml"></mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.2.3.5.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.cmml">2</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.1.cmml">β</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.2.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.3.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.4.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml"></mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
        <msup id="p1.1.m1.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">+</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.1.3.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml"></mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.10.4" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">B</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1.cmml">2</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2.cmml">n</mi>
          </mrow>
        </msub>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml"></mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.4" xref="p1.1.m1.1.14.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.2.7" xref="p1.1.m1.1.12.2.7.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.8" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.12.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.12.2.4" xref="p1.1.m1.1.12.2.4.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.2.5" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.12.2.6" xref="p1.1.m1.1.12.2.6.cmml">!</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <msup id="p1.1.m1.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.1.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml">π</mi>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.3.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.2.cmml">n</mi>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.14.4.1" xref="p1.1.m1.1.14.4.1.cmml"></mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.13a" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.2.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.13.3.5" xref="p1.1.m1.1.13.3.5.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.13.3.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.3.cmml">2</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.1.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.2.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.3.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
        <and id="p1.1.m1.1.14a.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.14b.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
          <geq id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">
            <times id="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.7"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1">2</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.8">
                  <factorial id="p1.1.m1.1.1.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.6"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.8.1.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.3">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.4">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.7">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.7.2.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3">𝜋</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.5.1.2">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">
              <divide id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3">
                <minus id="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.1">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.2.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.5">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.2.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.5">superscript</csymbol>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.3">2</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.1">𝛽</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5">
                      <times id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.5.1"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.3">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.1.4">𝑛</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3">
            <times id="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.2">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.14.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">1</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">
                <plus id="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1">𝑛</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.3">1</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.4">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1">
                <times id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.3"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.1">2</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3.1.1.2">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.14c.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
          <geq id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.14.3.cmml" id="p1.1.m1.1.14d.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.14.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.4">
            <times id="p1.1.m1.1.14.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.4.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
              <divide id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">
                <times id="p1.1.m1.1.12.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.7"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1">2</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.8">
                  <factorial id="p1.1.m1.1.12.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.6"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.8.1.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.12.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.4">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.7">
                  <times id="p1.1.m1.1.12.3.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.7.2.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3">𝜋</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.3.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.1.2">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">
              <divide id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3">
                <minus id="p1.1.m1.1.13.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.13.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.5">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.13.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.5">superscript</csymbol>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.3">2</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4">
                      <times id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.4.1"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.2">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.3.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.4.1.3">𝑛</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{\beta-2n}}%
&gt;=(-1)^{n+1}B_{2n}\geq\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{-2n}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (16.164 KB / 3.819 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{\beta-2n}}% >=(-1)^{n+1}B_{2n}\geq\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\frac{1}{1-2^{-2n}}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[17c3bdbdc9015ab4c9b6d811] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63472&eid=math.63472.78 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Results of Bernoulli and Euler Polynomials page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results