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Display information for equation id:math.63472.94 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.94)

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Hash: b53c1e645b394a37350c58561dc10caf

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\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}\binom{m}{j}\binom{n}{k}\frac{\BernoullinumberB{j}\BernoullinumberB{k}}{m+n-j-k+1} = (-1)^{m-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}\BernoullinumberB{m+n}

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MathML (16.502 KB / 2.33 KB) :

∑ j = 0 m ∑ k = 0 n ( m j ) ⁢ ( n k ) ⁢ B j ⁢ B k m + n - j - k + 1 = ( - 1 ) m - 1 ⁢ m ! ⁢ n ! ( m + n ) ! ⁢ B m + n superscript subscript 𝑗 0 𝑚 superscript subscript 𝑘 0 𝑛 binomial 𝑚 𝑗 binomial 𝑛 𝑘 Bernoulli-number-B 𝑗 Bernoulli-number-B 𝑘 𝑚 𝑛 𝑗 𝑘 1 superscript 1 𝑚 1 𝑚 𝑛 𝑚 𝑛 Bernoulli-number-B 𝑚 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{% }{m}{j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{k}\frac{B_{j}B_{k}}{m+n-j-k+1}=(-1)^{m-1}% \frac{m!n!}{(m+n)!}B_{m+n}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{%&#10;}{m}{j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{k}\frac{B_{j}B_{k}}{m+n-j-k+1}=(-1)^{m-1}%&#10;\frac{m!n!}{(m+n)!}B_{m+n}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">j</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">m</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.18.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">n</mi>
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          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.cmml">
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                <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.7.2.3a" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.2.cmml">m</mi>
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            </mrow>
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                <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.8.2.3a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.8.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.3.cmml">k</mi>
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              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.9.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml">B</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml">⁢</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.9.3.10.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.10.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">m</mi>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
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          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
                  <eq id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑘</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3">0</cn>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑛</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.5">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2">binomial</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.2">𝑚</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.3">𝑗</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.5">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2">binomial</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.2">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.3">𝑘</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.4">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.1">𝑗</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.4">
                    <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.3.1">𝑘</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3">
                  <plus id="p1.1.m1.1.9.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.8"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.9.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.10">
                    <minus id="p1.1.m1.1.9.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.9.3.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.10.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">𝑚</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.3">𝑛</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.5">𝑗</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.9.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.7">𝑘</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.9">1</cn>
                </apply>
              </apply>
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          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2">
          <times id="p1.1.m1.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.18.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.2">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.18.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.2">
              <minus id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">1</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
              <minus id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">𝑚</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3">1</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">
            <divide id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">
              <times id="p1.1.m1.1.16.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.5"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.16.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.6">
                <factorial id="p1.1.m1.1.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.1">𝑚</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.16.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.7">
                <factorial id="p1.1.m1.1.16.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.4"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.3">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3">
              <factorial id="p1.1.m1.1.16.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.6"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.16.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.7">
                <plus id="p1.1.m1.1.16.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.3"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.2">𝑚</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3.4">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.4">
            <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.1">
              <plus id="p1.1.m1.1.17.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.1.1">𝑚</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.1.3">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{%
}{m}{j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{k}\frac{B_{j}B_{k}}{m+n-j-k+1}=(-1)^{m-1}%
\frac{m!n!}{(m+n)!}B_{m+n}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (18.243 KB / 5.033 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{k=0}^{n}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{% }{m}{j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{n}{k}\frac{B_{j}B_{k}}{m+n-j-k+1}=(-1)^{m-1}% \frac{m!n!}{(m+n)!}B_{m+n}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[48be765dc05679c0f1c0c0bf] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63472&eid=math.63472.94 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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