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Display information for equation id:math.63472.98 on revision:63472

* Page found: Results of Bernoulli and Euler Polynomials (eq math.63472.98)

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\BernoullinumberB{n} = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!\StirlingnumberS@{n}{k}}{k+1}

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MathML (7.463 KB / 1.325 KB) :

B n = k = 0 n ( - 1 ) k k ! S ( n , k ) k + 1 Bernoulli-number-B 𝑛 superscript subscript 𝑘 0 𝑛 superscript 1 𝑘 𝑘 Stirling-number-second-kind-S 𝑛 𝑘 𝑘 1 {\displaystyle{\displaystyle B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!S\left(n,k% \right)}{k+1}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!S\left(n,k%&#10;\right)}{k+1}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">B</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">n</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.12.1.1a" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.12.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">k</mi>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.12.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml"></mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.5" xref="p1.1.m1.1.11.2.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">k</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.11.2.4.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.1.cmml">S</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.11.2.3.9.2a" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.2.3.5" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.5.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.2.3.6" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.11.2.3.7" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.7.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.11.2.3.8" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.11.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml">+</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.11.3.3" xref="p1.1.m1.1.11.3.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
        <eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4">
          <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">Bernoulli-number-B</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1">𝑛</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">subscript</csymbol>
              <sum id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">
                <eq id="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.1">𝑘</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1.3">0</cn>
              </apply>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">𝑛</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2">
            <times id="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">1</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝑘</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
              <divide id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">
                <times id="p1.1.m1.1.11.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.11.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.5">
                  <factorial id="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">𝑘</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.11.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.9.2">
                  <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.2.1.2">Stirling-number-second-kind-S</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.5">𝑛</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.3.7">𝑘</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3">
                <plus id="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.1">𝑘</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.3">1</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!S\left(n,k%
\right)}{k+1}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (10.764 KB / 3.684 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!S\left(n,k% \right)}{k+1}}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[1121977911b0fb1ab0b77b9c] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63472&eid=math.63472.98 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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