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\Riemannzeta@{2k+1} = \frac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k+1}}{2(2k+1)!}\int_{0}^{1}\BernoullipolyB{2k+1}@{t}\cot@{\pi t}\diff{t}

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MathML (16.266 KB / 2.274 KB) :

ζ ⁡ ( 2 ⁢ k + 1 ) = ( - 1 ) k + 1 ⁢ ( 2 ⁢ π ) 2 ⁢ k + 1 2 ⁢ ( 2 ⁢ k + 1 ) ! ⁢ ∫ 0 1 B 2 ⁢ k + 1 ⁡ ( t ) ⁢ cot ⁡ ( π ⁢ t ) ⁢ d t Riemann-zeta 2 𝑘 1 superscript 1 𝑘 1 superscript 2 𝜋 2 𝑘 1 2 2 𝑘 1 superscript subscript 0 1 Bernoulli-polynomial-B 2 𝑘 1 𝑡 𝜋 𝑡 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(2k+1\right)=\frac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k+% 1}}{2(2k+1)!}\int_{0}^{1}B_{2k+1}\left(t\right)\cot\left(\pi t\right)\mathrm{d% }t}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\zeta\left(2k+1\right)=\frac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k+%&#10;1}}{2(2k+1)!}\int_{0}^{1}B_{2k+1}\left(t\right)\cot\left(\pi t\right)\mathrm{d%&#10;}t}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">ζ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.5.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.5.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.cmml">k</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.3.cmml">+</mo>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.12" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.12.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.1.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.3.2.11" xref="p1.1.m1.1.3.2.11.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.3.2.13" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.13.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.8.cmml">π</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.10.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.5" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.5.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.2.cmml">k</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.3.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.3.2.10.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.1.4.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.10.1.2.cmml">(</mo>
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                    </mrow>
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              </mrow>
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          </mfrac>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.1.cmml">
            <msubsup id="p1.1.m1.1.10.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">0</mn>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.7.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.1.cmml">B</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.5.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.1.cmml">2</mn>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.7.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7.4" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.5" xref="p1.1.m1.1.7.5.cmml">t</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.6" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">cot</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.8.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.5" xref="p1.1.m1.1.8.5.cmml">
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                </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
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            <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
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              <times id="p1.1.m1.1.3.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.11"/>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.1">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.2">𝑘</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.3.1.1.4">1</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.5">𝑡</ci>
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                <cot id="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.2"/>
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                  <times id="p1.1.m1.1.8.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.5.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.8.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.5.1">𝜋</ci>
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