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Display information for equation id:math.63476.56 on revision:63476

* Page found: Results of Zeta and Related Functions (eq math.63476.56)

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\tfrac{1}{2}(2^{2n}-1)\Riemannzeta@{2n} = \sum_{k=1}^{n-1}(2^{2n-2k}-1)\Riemannzeta@{2n-2k}\Riemannzeta@{2k}

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1 2 ( 2 2 n - 1 ) ζ ( 2 n ) = k = 1 n - 1 ( 2 2 n - 2 k - 1 ) ζ ( 2 n - 2 k ) ζ ( 2 k ) 1 2 superscript 2 2 𝑛 1 Riemann-zeta 2 𝑛 superscript subscript 𝑘 1 𝑛 1 superscript 2 2 𝑛 2 𝑘 1 Riemann-zeta 2 𝑛 2 𝑘 Riemann-zeta 2 𝑘 {\displaystyle{\displaystyle\tfrac{1}{2}(2^{2n}-1)\zeta\left(2n\right)=\sum_{k% =1}^{n-1}(2^{2n-2k}-1)\zeta\left(2n-2k\right)\zeta\left(2k\right)}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\tfrac{1}{2}(2^{2n}-1)\zeta\left(2n\right)=\sum_{k%&#10;=1}^{n-1}(2^{2n-2k}-1)\zeta\left(2n-2k\right)\zeta\left(2k\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn>
          <mn id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn>
        </mfrac>
        <mo id="p1.1.m1.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.21.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.21.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">2</mn>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.1.3.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml">n</mi>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">-</mo>
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          </mrow>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.21.1.2.2.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.21.1.1a" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.cmml"></mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.1.cmml">ζ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.8.7.2a" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.8.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.8.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.5" xref="p1.1.m1.1.8.5.cmml">
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          </mrow>
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      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.21.2.1a" xref="p1.1.m1.1.21.2.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml"></mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">-</mo>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.21.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                  </mrow>
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              <sum id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
                <eq id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑘</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">1</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">
              <minus id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">𝑛</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3">1</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.21.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.21.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2">
              <minus id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2.2.2.2.1">superscript</csymbol>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">2</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.15.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.6">
                    <times id="p1.1.m1.1.15.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.6.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2">𝑛</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.15.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.7">
                    <times id="p1.1.m1.1.15.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.7.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.4">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.5">𝑘</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">1</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.7.2">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.19.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2.1.2">Riemann-zeta</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.19.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5">
                <minus id="p1.1.m1.1.19.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.19.5.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.6">
                  <times id="p1.1.m1.1.19.5.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.6.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.19.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.2">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.19.5.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.7">
                  <times id="p1.1.m1.1.19.5.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.7.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.4">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.19.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.5.5">𝑘</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.7.2">
              <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.20.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.2">Riemann-zeta</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.20.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.5">
                <times id="p1.1.m1.1.20.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.5.3"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.20.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.5.1">2</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.20.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.5.2">𝑘</ci>
              </apply>
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          </apply>
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      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\tfrac{1}{2}(2^{2n}-1)\zeta\left(2n\right)=\sum_{k%
=1}^{n-1}(2^{2n-2k}-1)\zeta\left(2n-2k\right)\zeta\left(2k\right)}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (13.577 KB / 3.485 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\tfrac{1}{2}(2^{2n}-1)\zeta\left(2n\right)=\sum_{k% =1}^{n-1}(2^{2n-2k}-1)\zeta\left(2n-2k\right)\zeta\left(2k\right)}}

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

PNG (0 B / 8 B) :

Failed getting PNG

[6c301bccc836864996f7746d] /index.php?title=Special:FormulaInfo&pid=63476&eid=math.63476.56 MWException: TeX input is invalid.

Backtrace:

from /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(125)
#0 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->calculateHash()
#1 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(116): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContentRequest(string)
#2 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRestbaseInterface.php(250): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getContent(string)
#3 /var/www/html/extensions/Math/src/MathRenderer.php(655): MediaWiki\Extension\Math\MathRestbaseInterface->getSvg()
#4 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(377): MediaWiki\Extension\Math\MathRenderer->getSvg()
#5 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(418): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->correctSvgStyle(NULL)
#6 /var/www/html/extensions/Math/src/MathMathML.php(500): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getFallbackImage()
#7 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(302): MediaWiki\Extension\Math\MathMathML->getHtmlOutput()
#8 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(166): FormulaInfo->DisplayRendering(string, string)
#9 /var/www/html/extensions/MathSearch/includes/FormulaInfo.php(45): FormulaInfo->DisplayInfo(string, string)
#10 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPage.php(690): FormulaInfo->execute(NULL)
#11 /var/www/html/includes/specialpage/SpecialPageFactory.php(1423): SpecialPage->run(NULL)
#12 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(316): MediaWiki\SpecialPage\SpecialPageFactory->executePath(string, RequestContext)
#13 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(911): MediaWiki->performRequest()
#14 /var/www/html/includes/MediaWiki.php(568): MediaWiki->main()
#15 /var/www/html/index.php(50): MediaWiki->run()
#16 /var/www/html/index.php(46): wfIndexMain()
#17 {main}


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