Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.63477.30 on revision:63477

* Page found: Results of Combinatorial Analysis (eq math.63477.30)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: 0da9f080a9da8319b11607938e67777c

TeX (original user input): 

\StirlingnumberS@{n}{k} = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{k-j}\binom{k}{j}j^{n}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (8.535 KB / 1.477 KB) :

S ⁡ ( n , k ) = 1 k ! ⁢ ∑ j = 0 k ( - 1 ) k - j ⁢ ( k j ) ⁢ j n Stirling-number-second-kind-S 𝑛 𝑘 1 𝑘 superscript subscript 𝑗 0 𝑘 superscript 1 𝑘 𝑗 binomial 𝑘 𝑗 superscript 𝑗 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle S\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^% {k-j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{k}{j}j^{n}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^%&#10;{k-j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{k}{j}j^{n}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">S</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.1.9.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">n</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.7.cmml">k</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml">k</mi>
              <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml">!</mo>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.15.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">j</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">k</mi>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">j</mi>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                <mfrac linethickness="0.0pt" id="p1.1.m1.1.12.2.3a" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2.cmml">k</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.12.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3.cmml">j</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.2.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">j</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">n</mi>
            </msup>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
        <eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.9.2">
          <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2">Stirling-number-second-kind-S</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5">𝑛</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.7">𝑘</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">
          <times id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">
            <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">1</cn>
            <apply id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">
              <factorial id="p1.1.m1.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3.1">𝑘</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2">
            <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
                  <eq id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑗</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3">0</cn>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑘</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.2.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">𝑗</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.5">
                <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">binomial</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.2">𝑘</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.3">𝑗</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.2.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑗</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^%
{k-j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{k}{j}j^{n}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (12.022 KB / 4.014 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle S\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^% {k-j}\genfrac{(}{)}{0.0pt}{}{k}{j}j^{n}}}

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

Failed to get svg.

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Results of Combinatorial Analysis page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results

Retrieved from "https://drmf-beta.wmflabs.org/wiki/Special:FormulaInfo"